Potencjały adiabatyczne molekuły N ali
|
|
- Kamila Szymańska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Politechnia Gdańsa Wydział Fizyi Technicznej i Matematyi Stosowanej Potencjały adiabatyczne moleuły N ali Jarosław Kielmas Promotor pracy magistersiej dr inż. Patry Jasi Gdańs, marzec 2010
2 Spis treści 1 Wstęp 2 2 Podstawy teoretyczne Symetria uładu Hamiltonian i równanie Schrödingera Przybliżenie adiabatyczne Przybliżenie Borna-Oppenheimera Efetywny potencjał rdzenia Potencjał polaryzacyjny rdzenia Metody obliczeniowe Pseudopotencjały Baza obliczeniowa RHF CI Multi Prezentacja i analiza wyniów 21 5 Podsumowanie 37 Bibliografia 39 Dodate A Tabele potencjałów adiabatycznych Dodate B Przyładowy pli MOLPRO I II 1
3 1. Wstęp Teoretyczne i esperymentalne badania strutury rotacyjno-oscylacyjno-eletronowej cząstecze stanowią jedną z podstawowych dziedzin fizyi i chemii. W ostatnich latach jedną z wielu inspiracji badań w tym zaresie była próba głębszego zrozumienia oddziaływania zimnych atomów i moleuł w pułapce magnetyczno-optycznej. Nowoczesne technologie pozwoliły na laboratoryjne uzysanie olejnego stanu supienia materii, ondensatu Bosego-Einsteina, tóry po raz pierwszy został utworzony z atomów rubidu w 1995 rou. Od tego czasu ponownie wzrosło zainteresowanie atomami, moleułami i jonami metali alalicznych. Głównym celem mojej pracy magistersiej jest przeprowadzenie obliczeń adiabatycznych rzywych energii potencjalnej dla cząsteczi N ali. Wszystie wynii otrzymane w ramach niniejszej pracy magistersiej zostały uzysane dzięi paietowi programów MOLPRO [4]. Do obliczeń zostały wyorzystane fundamentalne metody ab inito taie ja RHF (Restricted Hartree-Foc), MCSCF/CAS-SCF (Multiconfigurational Self- Consistent Field / Complete Active Space Self-Consistent Field) oraz CI (Configuration Interaction). Kolejnym celem pracy jest również wyznaczenie podstawowych parametrów spetrosopowych dla wszystich otrzymanych potencjałów adiabatycznych. Ostatnim celem jest porównanie uzysanych przeze mnie wyniów z innymi, dostępnymi rezultatami teoretycznymi oraz wyniami otrzymanymi na podstawie esperymentów. Historia badań cząsteczi N ali sięga początu lat siedemdziesiątych ubiegłego stulecia, iedy to Hessel przeprowadził esperyment, w tórym obserwował przejścia ze stanu podstawowego 1 1 Σ + do stanu wzbudzonego 1 1 Π [6]. Wynii Hessel a zostały potwierdzone przez Broos a i innych [7] oraz Graff a i innych [8] w 1972 rou. Pierwsza znacząca praca teoretyczna została opubliowana przez Schmidt-Min i innych [12] w 1984 rou, w tórej zostały zaprezentowane szesnaście najniżej leżących potencjałów adiabatycznych. Kolejne znaczące badania, zarówno teoretyczne ja i esperymentalne, zostały przeprowadzone przez Fellows a [21] na początu lat dziewięćdziesiątych i dotyczyły spetrosopowego stanu podstawowego. Bardzo cenne prace doświadczalne zostały opubliowane przez grupę profesora Kowalczya i profesora Jastrzębsiego z Warszawy, w tórych ba- 2
4 dane były wysoo wzbudzone singletowe stany Σ + oraz Π. W 2008 rou powstały dwie duże teoretyczne prace, w tórych Berriche i inni [16] oraz Petsalais [11] i inni przedstawili wynii obliczeń dla wielu adiabatycznych rzywych energii potencjalnej. 3
5 2. Podstawy teoretyczne 2.1 Symetria uładu Klasyfiując cząsteczę NaLi ze względu na jej symetrię muszę wymienić najpierw jej elementy symetrii. Nazwa grupy, do tórej należy omawiana cząstecza wynia z elementów symetrii, tóre są w tej cząsteczce obecne. Rysune 2.1: Symetria cząsteczi NaLi W przypadu cząstecze liniowych, do tórych zalicza się cząsteczę NaLi zauważam, że obrót o dowolny ąt woół osi przechodzącej przez jądra atomowe przeprowadza cząsteczę w pozycję nieodróżnialną od pozycji początowej. Obrót cząsteczi woół oreślonej osi, przeprowadzający ją w położenie równoważne, nieodróżnialne od położenia początowego, stanowi operację symetrii, natomiast elementem symetrii nazywa się 4
6 oś, woół torej doonano obrotu. Taa oś symetrii została oznaczona na rysunu 2.1 symbolem C, ja widać zawiera się ona w płaszczyźnie σ v. Oś C 1, prostopadła do osi C, tóra zawiera się w płaszczyźnie σ n, umożliwia obrót nazywany w teori grup obrotem właściwym. W ogólności tai obrót oznacza się jao C n, gdzie C symbolizuje obrót właściwy, natomiast indes n podaje, o jaą część ąta 2π należy go wyonać. W naszym przypadu obrót o ąt ϕ = 2π/1 daje nam operację tożsamościową (wśród symetri odgrywa rolę elementu neutralnego). Odbicie względem ustalonej płaszczyzny, tóre taże stanowi operację symetrii, zapisuje się jao σ. W naszym przypadu jest zaznaczona na rysunu 2.1 płaszczyzna σ v. Dodatowo, w przypadu symetrii cząsteczi NaLi możemy mówić o obrocie niewłaściwym, tóry stanowi złożenie operacji obrotu C 2 oraz odbicia σ n. Ponadto zaznaczam, iż bra w tym przypadu symetrii inwersyjnej cząsteczi, co wpływa na lasyfiację orbitali moleularnych. Na podstawie wymienionych przeze mnie operacji symetrii, symetrię dwuatomowej cząsteczi heterojądrowej N ali opisuje niesończona grupa C v. 2.2 Hamiltonian i równanie Schrödingera Cząstecza NaLi, zbudowana z atomu sodu oraz atomu litu, zaliczana jest do cząstecze heterojądrowych. Można ją tratować jao uład dwóch jąder A i B oraz czternastu otaczających je eletronów. Definiując R = ( R A, R B ) jao zbiór wetorów wodzących jąder moleuły oraz r = ( r 1,..., r 14 ) jao zbiór wetorów wodzących wszystich czternastu eletronów moleuły, równanie Schrödingera opisujące rozważany uład moleularny może zostać przedstawione w następującej postaci: Ĥ( r, R)Ψ( r, R) = EΨ( r, R) (2.1) gdzie Ĥ( r, R) jest hamiltonianem moleularnym, Ψ( r, R) jest całowitą funcją falową, natomiast E jest całowitą energią rozpatrywanego uładu. 5
7 Rysune 2.2: Oznaczenia wetorów wodzących jąder i eletronów w dwuatomowej cząsteczce NaLi Występujący w równaniu (2.1) całowity hamiltonian cząsteczi NaLi można zapisać w następującej formie Ĥ( r, R) = ˆT e ( r) + ˆT N ( R) + ˆV NN ( R) + ˆV Ne ( r, R) + ˆV ee ( r), (2.2) W powyższym wyrażeniu operator energii inetycznej eletronów przedstawiony jest w postaci ˆT e ( r) = 2 m e 14 i=1 2 i, (2.3) gdzie i oznacza operator różniczowania po współrzędnych położeniowych i-tego eletronu. Operatorem energii inetycznej jąder jest następujący wzór ˆT N ( R) = 2 2 A,B 1 M N 2 N (2.4) gdzie N oznacza odpowiednio operatory różniczowania po współrzędnych położeniowych jądra A oraz jądra B. Energię odpychania jąder opisuje operator w postaci ˆV NN ( R) = 1 4πϵ 0 Z A Z B e 2 R A R B, (2.5) natomiast energia odpychania eletronów jest reprezentowana przez następujący operator ˆV ee ( r) = 1 4πϵ i>j e 2 r i r j. (2.6)
8 Za przyciąganie eletronów oraz jąder odpowiada poniższy dwuczłonowy operator ˆV Ne ( r, R) = 1 4πϵ 0 14 i=1 [ Z A e 2 R A r i + Z Be 2 R B r i ] (2.7) Ze względu na fat, że równanie (2.1), tórego hamiltonian jest postaci (2.2) nie posiada rozwiązania analitycznego, należy zastosować przybliżenia oraz uproszczenia, dzięi tórym można otrzymywać jaościowo i ilościowo poprawne rezultaty Przybliżenie adiabatyczne Dla uproszczenia zapisu równań wprowadzam dodatowe oznaczenia. Całowity hamiltonian moleularny można teraz przedstawić w postaci sumy dwóch operatorów Ĥ( r, R) = ˆT N ( R) + Ĥel( r, R), (2.8) gdzie Ĥel( r, R) reprezentuje hamiltonian eletronowy. Operator ten można również przedstawić za pomocą sumy dwóch członów, tóre reprezentują odpowiednio energię inetyczną i potencjalną eletronów Ĥ( r, R) = ˆT e ( r) + ˆV ( r, R), (2.9) gdzie ˆV ( r, R) jest sumą sładniów przedstawianych we wzorach (2.5), (2.6), (2.7), czyli ˆV ( r, R) = ˆV NN ( R) + ˆV ee ( r) + ˆV Ne ( r, R). (2.10) Masa eletronu jest równa 9, g, natomiast masy jąder atomów litu i sodu są równe odpowiedno 11, g i 3, g. W związu z tym ruch eletronów i jąder możemy tratować niezależnie. Dlatego też całowitą funcję falową Ψ( r, R) rozpatrywanego uładu moleularnego przedstawia się w reprezentacji adiabatycznej w postaci następującego rozwinięcia Ψ( r, R) = Ψ ( r, R) = χ ( R)Φ ( r; R), (2.11) gdzie opisuje olejne stany rozważanej cząsteczi dwuatomowej NaLi, χ ( R) jest funcją falową opisującą stany jąder moleuły, natomiast Φ ( r; R) jest funcją falową opisującą stany eletronów przy ustalonej odległości międzyatomowej R. Eletronowa funcja 7
9 falowa jest funcją własną eletronowego równania Schrödingera, tóre zapisuje się w postaci następującego równania Ĥ el ( r, R)Φ ( r; R) = E (R)Φ ( r; R), (2.12) gdzie E (R) reprezentuje energię różnych stanów eletronowych oznaczanych indesem. Energia ta parametrycznie zależy od odległości pomiędzy jądrami atomu litu i sodu, a jej wyznaczanie dla różnych stanów eletronowych jest podstawowym celem niniejszej pracy magistersiej. Wyprowadzenie rozpoczynam od przedstawienia moleularnego równania Schrödingera w postaci adiabatycznej przez wstawienie równania (2.8) do (2.1) ( ˆTN ( R) + Ĥel( r, R)) Ψ( r, R) = EΨ( r, R), (2.13) następnie do otrzymanego równania (2.13) wstawiam równanie (2.11) ( ˆTN ( R) + R)) Ĥel( r, χ ( R)Φ ( r; R) = E χ ( R)Φ ( r; R). (2.14) Kolejnym roiem jest lewostronne pomnożenie równania (2.14) przez Φ l ( r; R), co doprowadzi do otrzymania wzoru Φ l ( r; R) ( ˆTN ( R) + Ĥel( r, R) ) χ ( R)Φ ( r; R) = (2.15) = Φ l ( r; R)E χ ( R)Φ ( r; R) Całowanie po współrzędnych eletronowych doprowadzi równanie (2.15) do postaci Φ l ( r; R) ( ˆTN ( R) + Ĥel( r, R) ) χ ( R)Φ ( r; R)d r = (2.16) = Φ l ( r; R)E χ ( R)Φ ( r; R)d r Równanie (2.16) po zastosowaniu własności na całę sumy sprowadza się do wzoru Φ l ( r; R) ˆT N ( R) χ ( R)Φ ( r; R)d r + (2.17) + = Φ l ( r; R)Ĥel( r, R) Φ l ( r; R)E χ ( R)Φ ( r; R)d r = χ ( R)Φ ( r; R)d r 8
10 W równaniu (2.17) mogę teraz wyciągnąć przed całę elementy niezależne od zmiennej r, po tórej odbywa się całowanie. Pierwszy człon równania pozostawiam bez zmian i otrzymuję + Φ l ( r; R) ˆT N ( R) = E χ ( R) χ ( R) χ ( R)Φ ( r; R)d r + (2.18) Φ l ( r; R)Ĥel( r, R)Φ ( r; R)d r = Φ l ( r; R)Φ ( r; R)d r Funcje eletronowe muszą spełniać warune ortonormalności Φ l ( r; R)Φ ( r; R)d r = δ l (2.19) co wraz z wyorzystaniem wzoru (2.12) doprowadzi do + Φ l ( r; R) ˆT N ( R) = E czyli równanie (2.20) ma postać + χ ( R) χ ( R)δ l, Φ l ( r; R) ˆT N ( R) χ ( R)Φ ( r; R)d r + (2.20) Φ l ( r; R)E (R)Φ ( r; R)d r = χ ( R)E (R)δ l = E χ ( R)Φ ( r; R)d r + (2.21) χ ( R)δ l, Wyorzystując deltę Kronecera { Φ l ( r; R)Φ ( r; R)d r 1 l = = δ l = 0 l } (2.22) 9
11 równanie (2.21) otrzymuję w poniższej formie Φ l ( r; R) ˆT N ( R) χ ( R)Φ ( r; R)d r + (2.23) +χ l ( R)E l (R) = Eχ l ( R), Do modyfiacji pierwszego członu równania (2.23) przyjmuję następujące oznaczenie ˆT N = 2 R (2.24) dzięi czemu, po uwzględnieniu (2.24) w równaniu (2.23) otrzymuję Φ l ( r; R) 2 R +χ l ( R)E l (R) = Eχ l ( R), tóry po przeniesieniu różniczowania do sumy daje Φ l ( r; R) χ ( R)Φ ( r; R)d r + (2.25) 2 R +χ l ( R)E l (R) = Eχ l ( R), Poniżej znajduje się rozpisane różniczowanie fragmentu 2 R (2.26) ( χ ( R)Φ ( r; R) ) d r + (2.26) ( χ ( R)Φ ( r; R) ) ze wzoru ( 2 R χ ( R)Φ ( r; R) ) ( = R ( R χ ( R)Φ ( r; R) )) = (2.27) = R (( R χ ( R) ) Φ ( r; R) ( + R Φ ( r; R) ) χ ( R) ) = ( = ( R R χ ( R) ) Φ ( r; R) ) ( + ( R R Φ ( r; R) ) χ ( R) ) ( = 2 Rχ ( R) ) Φ ( r; R) ( + R χ ( R) ) ( R Φ ( r; R) ) + ( + 2 RΦ ( r; R) ) χ ( R) ( + R Φ ( r; R) ) ( R χ ( R) ) = ( = 2 Rχ ( R) ) Φ ( r; R) ( + 2 R χ ( R) ) ( R Φ ( r; R) ) + ( + 2 RΦ ( r; R) ) χ ( R) (2.28) 10
12 Wprowadzając wyni różniczowania (2.27) do wzoru (2.26) oraz wracając do oznaczeń sprzed podstawienia otrzymuję Φ l ( r; R) (( ˆTN χ ( R)) Φ ( r; R) ) d r + (2.29) 2 Φ l ( r; R) 2M N A,B + Φ l ( r; R) +χ l ( R)E l (R) = Eχ l ( R), ( ( 2 R χ ( R) ) ( R Φ ( r; R) )) d r + (( ˆTN Φ ( r; R)) χ ( R) ) d r + Po drobnym uporządowaniu równanie (2.29) przyjmuje postać ( ˆTN χ ( R) ) Φl ( r; R)Φ ( r; R)d r + (2.30) 2 M N A,B + χ ( R) +χ l ( R)E l (R) = Eχ l ( R), ( R χ ( R)) Φl ( r; R) R Φ ( r; R)d r + Φ l ( r; R) ˆT N Φ ( r; R)d r + Biorę pod uwagę (2.19) i w olejnym rou uzysuję wzór ( ˆTN χ ( R)) δ l + (2.31) 2 M N A,B + χ ( R) +χ l ( R)E l (R) = Eχ l ( R), ( R χ ( R)) Φl ( r; R) R Φ ( r; R)d r + Φ l ( r; R) ˆT N Φ ( r; R)d r + po czym ponownie orzystam z własności delty Kronecera (2.22) ( ˆTN χ l ( R)) 2 ( R χ ( R)) M Φl ( r; R) R Φ ( r; R)d r + (2.32) N A,B + χ ( R) Φ l ( r; R) ˆT N Φ ( r; R)d r + +χ l ( R)E l (R) = Eχ l ( R). 11
13 Ostatecznie otrzymuję całowite równanie Schrödingera w reprezentacji adiabatycznej grupując wyrazy podobne ( ˆTN + E l (R)) χ ( R) A,B + χ ( R) 2 M N Φ l ( r; R) ˆT N Φ ( r; R)d r = Eχ l ( R). ( R χ ( R)) Φl ( r; R) R Φ ( r; R)d r +(2.33) Przybliżenie Borna-Oppenheimera Bardzo ważnym przybliżeniem jaie stosuje się w chemii wantowej i spetrosopii jest przybliżenie Borna-Oppenheimera wyorzystujące fat dużej różnicy między masą jądra atomowego a masą eletronu sięgającą od trzech do pięciu rzędów wielości. Mając na uwadze ten fat należy pamiętać, że prędości eletronów są dużo więsze od prędości jąder. Różnica prędości jest na tyle duża, że jądra można przyjąć za nieruchome (zamrożone), co umożliwia odseparowanie ruchu eletronów i jąder. Idąc dalej w tym ierunu zauważamy, że ruch eletronów nie jest już zależny od zmiany położenia jąder lecz wyłącznie od położenia jąder. Przemyślenia te, odnosząc się do wzoru (2.33) pozwalają nam pominąć wyrazy zawierające różniczowanie funcji eletronowej Φ ( r; R) po współrzędnych jądrowych. Dzięi temu funcje zależne od zmian położeń jąder są w przybliżeniu równe zero, zatem oraz N Φ ( r; R) 0 (2.34) 2 NΦ ( r; R) 0, (2.35) czyli w równaniu (2.33) znia drugi i trzeci człon, dając w rezultacie następującą postać równania własnego ( ˆTN + E l (R)) χ ( R) = Eχ l ( R) (2.36) Uzysaliśmy więc reprezentację adiabatyczną równania Schrödingera po zastosowaniu założeń jaie niesie za sobą przybliżenie Borna-Oppenheimera. 12
14 Funcje χ l ( R) należy identyfiować z ruchem jąder w cząsteczce, tóry ma miejsce w potencjale wyznaczonym przez energię E l (R) l-tego stanu eletronowego. Funcja E l (R) wyznacza rzywe energii potencjalnej eletronowego stanu l, tórych wyznaczenie obrałem jao temat przewodni tejże pracy magistersiej Efetywny potencjał rdzenia Ze względu na ograniczony czas obliczeniowy, powiązany z mocą obliczeniową omputerów, na tórych doonywałem obliczeń, w omawianym uładzie moleularnym musiałem zastosować pewne uproszczenia, tóre znacząco przyśpieszyły uzysanie wyniów. Chodzi tu doładnie o potratowanie cząsteczi NaLi jao dwueletronowego uładu, w tórym dominujący wpływ na energię oddziaływania mają jedynie eletrony walencyjne, natomiast eletrony znajdujące się na wewnętrznych powłoach eletronowych oraz jądra atomowe przedstawione są przez efetywny potencjał rdzenia ECP (Effective Core Potential). Dla badanej przeze mnie cząsteczi NaLi hamiltonian eletronowy mogę zapisać jao: Ĥ el = 2m e N 2 i + i=1 λ=a,b ˆV λ + λ=a,b ˆV p λ l + 1 Q A Q B e 2 4πϵ 0 R (2.37) gdzie i jest indesem numerującym eletrony walencyjne, λ jest indesem rdzenia natomiast pseudopotencjałem efetywnym jest: ˆV λ = N i=1 [ 1 4πϵ 0 Q λ e 2 r λi + l Γ λ l exp( γ λ l r 2 λi) ˆP λ l ] (2.38) i opisuje odziaływanie ulombowsie oraz oddziaływanie wymiany pomiędzy eletronami walencyjnymi i rdzeniami atomowymi, a r λi jest odległością i-tego eletronu położone- λ go na powłoce walencyjnej od rdzenia atomowego λi, ˆP l jest projetorem przestrzeni Hilberta, natomiast Γ λ l oraz γl λ są odpowiednio parametrami pseudopotencjału, l jest orbitalną liczbą wantową Potencjał polaryzacyjny rdzenia W równaniu (2.37) ˆV pl λ Potential), postaci jest potencjałem polaryzacyjnym rdzenia CPP (Core Polarization ˆV λ pl = 1 2 α λ F 2 λ. (2.39) 13
15 Ja widać jest to iloczyn wetora F λ 2 pola eletrycznego, pochodzącego od eletronów walencyjnych i drugiego rdzenia oraz parametru α λ, czyli dipolowej polaryzowalności rdzenia λ. Wetor F λ pola eletrycznego jest opisany równaniem: F λ = N i=1 r λi [1 exp( δ rλi 3 λ rλi)] 2 Q λr R [1 exp( δ λr 2 )] (2.40) 3 gdzie R jest odległością pomiędzy dwoma rdzeniami, δ λ jest parametrem obcięcia. 14
16 3. Metody obliczeniowe Rozwijające się od połowy lat 60-tych metody obliczeniowe ab inito (z łac. od początu) zawierają zestaw podstaw numerycznych obliczeń energii całowitej oraz rozładu gęstości eletronowej w uładach wieloatomowych. Dzięi rozwojowi trzech elementów: teorii, metod obliczeniowych, czyli algorytmów oraz technii omputerowej, metody ab inito stały się potężnym narzędziem badawczym, odnoszącym wielie sucesy. Dzięi nim można obecnie analizować ułady zawierające od dwóch (ta ja w moim przypadu) do iluset atomów, co w połączeniu z periodycznymi warunami brzegowymi prowadzi już do bardzo szeroiej lasy uładów poddającyh się taiej analizie, a otrzymywane wynii pozostają zwyle w bardzo dobrej zgodności z esperymentem. Metody ab inito w chemii wantowej polegają na przybliżonym rozwiązywaniu równania Schrödingera bez dopasowywania używanego modelu do danych esperymentalnych. Jedynymi wartościami esperymentalnymi używanymi w tych metodach są uniwersalne stałe fizyczne [43]. Wszystie obliczenia wyonałem za pomocą paietu MOLPRO [4], tóry oferuje zaawansowane ja i podstawowe metody ab initio, uwzględniając taże przy tym metody orelacyjne. Mając do dyspozycji podręczni użytownia [4] tego programu byłem w stanie odpowiednio zbudować pli onfiguracyjny, tóry najlepiej opisywał omawianą w niniejszej pracy magistersiej moleułę NaLi [Dodate B]. Aby otrzymać poprawne wynii musiałem dobrać pseudopotencjały dla poszczególnych atomów oraz najlepszą bazę obliczeniową. 3.1 Pseudopotencjały W MOLPRO [4] jest możliwość zastąpienia silnego potencjału ulombowsiego jądra atomowego i związanych z nim eletronów rdzenia efetywnym potencjałem, tóry działa na eletrony walencyjne. Program ten oferuje taie pseudopotencjały, tórych wybór zależy od budowy atomu. Przyładowy pseudopotencjał może wyglądać ta: ECPNSDF, gdzie w nazwie ECP to Effective Core Potential, N to liczba eletronów wchodzących w sład rdzenia, oraz SDF (Single-valance-electron ion Dirac-Foc) to metoda, tóra została wyorzystana do wygenerowania tego pseudopotencjału. W związu z tym, że omawiana 15
17 moleuła jest heterojądrowa, atom litu (dwa eletrony rdzenia i jeden eletron walencyjny) opisuje pseudopotencjał ECP2SDF, natomiast atom sodu (jedenaście eletronów wchodzących w sład rdzenia oraz jeden eletron walencyjny) opisuje pseudopotencjał ECP10SDF. 3.2 Baza obliczeniowa Dla uzysania doładnych wyniów użyłem bazy cc-pvqz [9], tóra opisuje podpowłoi atomowe s,p,d, f oraz g. Podczas wstępnych obliczeń zauważyłem, że MOLPRO [4], przy użyciu tej bazy zwraca wartości jedynie dla zaresu odległości od 3a 0 do 88a 0, ponieważ dla szerszego zaresu program zwracał błąd bazy. Wyładnii funcji Gaussa dla orbitali atomowych s,p,d,f oraz g bazy cc-pvqz [9] dla atomu sodu oraz litu prezentuję w tabelach 3.1 i 3.2, gdzie dodatowo pogrubioną czcioną zaznaczyłem moje rozszerzenia tej bazy obliczeniowej. Tabela 3.1: Wyładnii funcji Gaussa dla orbitali atomowych s,p,d,f oraz g bazy cc-pvqz dla atomu litu [9]. s p d f g
18 Tabela 3.2: Wyładnii funcji Gaussa dla orbitali atomowych s,p,d,f oraz g bazy cc-pvqz dla atomu sodu [9]. s p d f g , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; 17
19 3.3 RHF Główną cechą metody Hartrre-Foca jest idea o unieruchomieniu jąder moleuły. Omówione w poprzednim rozdziale przybliżenie Borna-Oppenheimera umożliwia nam taą sytuację. Dzięi temu można się supić na funcji falowej N eletronów. Możliwość ruszenia jąder oczywiście istnieje pod waruniem, że wyonamy całą procedurę od początu wyorzystując nowe położenie jąder. Do zbudowania funcji falowej możemy posłużyć się spinorbitalami moleularnymi, przy czym ażdy z nich będzie funcją współrzędnych jednego eletronu (jedna spinowa oraz trzy współrzędne artezjańsie). Dodam tutaj taże, że eletronowa funcja falowa moleuły z N eletronami zależy od 3 N współrzędnych artezjańsich eletronów i N ich współrzędnych spinowych (σ = 1 lub σ = 1 dla ażdego eletronu) co daje nam w ostateczności funcję z przestrzeni 2 2 4N-wymiarowej. Metoda Hartree-Foca jest metodą wariacyjną z funcją próbną postaci jednego wyznacznia Slatera Φ 1 ( r 1, σ 1 ; R) Φ 1 ( r 2, σ 2 ; R)... Φ 1 ( r N, σ N ; R) Ψ RHF ( r, σ; R) = 1 Φ 2 ( r 1, σ 1 ; R) Φ 2 ( r 2, σ 2 ; R)... Φ 2 ( r N, σ N ; R) N! Φ N ( r 1, σ 1 ; R) Φ N ( r 2, σ 2 ; R)... Φ N ( r N, σ N ; R) Ma on dwie bardzo ważne cechy ścisłej funcji falowej. Mianowicie eletrony o tych samych spinach nie mogą się do siebie zbliżyć (dwa eletrony mające współrzędne przestrzenne i spinowe taie same oznaczają, że olumny powyższego wyznacznia są identyczne, co powoduje że wyznaczni staje się zerem) oraz eletrony o przeciwnych spinach mogą się do siebie zbliżyć (jeśli dwa eletrony posiadające spinorbitale - jeden odpowiadający funcji spinowej α, a drugi funcji spinowej β - zajmą to same miejsce w przestrzeni to i ta wyznaczni Slatera nie zninie) [2]. W metodzie Hartree-Foca szuamy zatem taiego wyznacznia Ψ RHF ( r, σ; R), tóry daje najmniejszą wartość średnią hamiltonianu. Przez zmianę ształtu spinorbitali zmniejszana jest wartość średnia hamiltonianu. Funcja Hartree-Foca, E RHF [Ψ RHF ( r, σ, R)] = Ψ( r, σ, R) Ĥel Ψ( r, σ, R) Ψ( r, σ, R) Ψ( r, σ, R) (3.1) czyli wyznaczni zapewniający miniumum wartości średniej hamiltonianu, jest przybliżeniem do funcji falowej spełniającej równanie Schrödingera (2.12). 18
20 3.4 CI Metoda CI (Configuration Interaction) stanowi liniową ombinację wyznaczniów Slatera Ψ CI ( r, σ; R) = C I Φ I ( r, σ; R), (3.2) I=0 gdzie I numeruje olejne stany eletronowe moleuły, natomiast C I są współczynniami rozwinięcia. Stosując metodę RHF uzysamy funcję Ψ RHF ( r, σ; R), tóra opisuje stan podstawowy cząsteczi. W metodzie CI wyznacznii Slatera uzysuje się przez zamianę spinorbitali obsadzonych na funcję wyznaczniową Hartree-Foca w pojedynczym wyznaczniu Slatera. W zależności od olejnych iteracji, jeśli zamieniony zostanie jeden spinorbital, to nowy wyznaczni nazywa się jednowzbudzonym, natomiast jeśli dwa, to dwuwzbudzonym... Metoda CI jest wolno zbieżna i często powoduje zbyt szybie zaaloowanie ogromnych obszarów pamięci omputera, co prowadzi do szybiego jej wyczerpania się. Aby oszczędzić zasoby omputera można zastosować operację polegającą na tym, że nie wzbudza się spinorbitali powło wewnętrznych (wpływ na różnice energii jest zniomy). Można doonać zamrożenia orbitali, tóre staną się orbitalami nieatywnymi. Najwięszy wład do liczonej energii będą teraz miały orbitale atywne. Mając na uwadze fat, że pewne wyznacznii powinny być obecne w dobrej funcji falowej, ich pojawienie się możemy eonomiczniej uzysać stosując metodę MC SCF. 19
21 3.5 Multi Wariacyjna metoda wieloonfiguracyjna MCSCF (Multiconfigurational Self-Consistent Field) jest najogólniejszą metodą stosującą liniową ombinację wyznaczniów Slatera jao przybliżenie do funcji falowej. Ma ona postać: Ψ MULT I ( r, σ; R) = N C I Φ I ( r, σ; R), (3.3) I gdzie N to liczba wyznaczniów Slatera Φ I ( r, σ; R) otrzymanych z orbitali atomowych. Funcja Ψ MULT I ( r, σ; R) jest zbudowana z orbitali moleularnych, tóre będą wyorzystane do stworzenia funcji falowej w metodzie Configuration Interaction. Metoda Multi, dzięi zoptymalizowaniu orbitali moleularnych oraz współczynniów rozwinięcia przyśpiesza obliczenia prowadzone w metodzie CI. 20
22 4. Prezentacja i analiza wyniów Paiet obliczeniowy MOLPRO [4] umożliwił mi uzysać łącznie czternaście rzywych adiabatycznych, w sład tórych wchodzi pięć stanów singletowych o symetrii Σ +, dwa stany singletowe o symetrii Π, pięć stanów trypletowych o symetrii Σ + oraz dwa stany trypletowe o symetrii Π. Obliczenia rzywych adiabatycznych energii potencjalnej wyonałem w zaresie od 3a 0 do 88a 0. Znając wynii teoretyczne oraz esperymentalne, z tórymi się porównuje, mogłem odpowiednio dobrać liczbę puntów pomiarowych oraz ich gęstość. Dlatego od odległości 88a 0 do 15a 0 ro wynosił średnio od 1a 0 do 2a 0, natomiast od 15a 0 różnił się między sobą już o dzięsiąte części jednosti a 0, ponieważ podejrzewałem, że w tym zaresie będą minima. W tabeli 4.1 prezentuje obliczone przeze mnie wynii atomowych energii asymptotycznych dla odległości międzyatomowej 88a 0. Podane w tej tabeli wartości energii są w cm 1. Dzięi temu zestawieniu można stwierdzić, że moje obliczenia zostały wyonane poprawnie, ponieważ zgadzają sie one z wyniami esperymentalnymi oraz teoretycznymi, co też utwierdza mnie w przeonaniu, iż baza obliczeniowa cc-pvqz [4] została przeze mnie prawidłowo dobrana oraz odpowiednio rozszerzona. Podsumowując tabelę 4.1 widać, że została osiągnięta przeze mnie dobra zgodność dla wyższych stanów wzbudzenia moleuły N ali. Najwięsza została zaobserwowana dla poziomu Li(2s) + N a(4s) oraz Li(3s)+Na(3s), gdzie różnica wynosi 6cm 1. Najwięsza różnica wystąpiła dla poziomu Li(2s) + Na(3p) i jest ona równa 8cm 1. Tabela 4.1: Porównanie obliczonych asymptotycznych wartości energii potencjalnej z wyniami esperymentalnymi i teoretycznymi. Asymptota Moore [10] Schmidt-Min [12] Petsalais [11] Mabrou [16] Praca obecna Li(2p) + Na(3s) Li(2s) + Na(3p) Li(2s) + Na(4s) Li(3s) + Na(3s) W celu sprawdzenia poprawności otrzymanych wyniów chciałem dodatowo porównać parametry opisujące położenia minimów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej 21
23 moleuły NaLi. Mowa tu o parametrach spetrosopowych, oznaczonych jao R e i D e, tóre są odpowiednio położeniem równowagi oraz energią wiązania. Uzysanie tych danych wiązało się z przeprowadzeniem interpolacji otrzymanych wyniów metodą rzywych slejanych drugiego rzędu. Mając już interpolowane wartości mogłem stwierdzić, gdzie występuje minimum loalne i dzięi temu uzysać parametry studni potencjału. W tabeli 4.2 przedstawiam obliczone dane spetrosowe na tle wartości teoretycznych i esperymentalnych. Dzięi taiemu zestawieniu można pousić się o dalsze rozmyślenia na temat jaości uzysanych przeze mnie wyniów. Odległości R e oraz wartości energii D e wyznaczyłem dla trzynastu stanów spośród czternastu uzysanych przeze mnie w tej pracy magistersiej, ponieważ tam zobserwowałem występowanie minimów. Tabela 4.2: Dane spetrosopowe R e (Å), D e (cm 1 ) dla obliczonych stanów. Stan Metoda R e D e 1 1 Σ + Moje obliczenia 2, Teoria [16] 2, Teoria [13] 2, Teoria [12] 2, Esperyment [18] 2, Teoria [32] 2,908 - Teoria [24] 2, Teoria [29] 2, Teoria [31] 2, Teoria [35] 2, Teoria [33] 2, Teoria [34] 2, Teoria [36] 2, Esperyment [39] 2, ,3 Teoria [11] 2, Esperyment [28] 2, Σ + Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 3, Esperyment [28] Teoria [32] 3,381 - Esperyment [37] Teoria [11] 2, Teoria [31] 3, Teoria [35] 3, Teoria [30] 3, Σ + Moje obliczenia 4, Teoria [16] 4, Teoria [12] 4, Teoria [31] 4, Teoria [30] 4, Teoria [11] 3, Kontynuacja na następnej stronie 22
24 Tabela 4.2 ontynuacja Stan Metoda R e D e Esperyment [28] Esperyment [38] Σ + (Pierwsze minimum) Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 3, Esperyment [28] Esperyment [27] 3, Esperyment [19] - - Teoria [11] 2, Esperyment [28] Σ + (Drugie minimum) Moje obliczenia 6, Teoria [16] 6, Teoria [12] 6, Σ + (Pierwsze minimum) Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 3, Esperyment [16] Teoria [11] 3, Esperyment [28] Σ + (Drugie minimum) Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 6, Teoria [11] 3, Esperyment [28] Π Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 3, Esperyment [18] 3, Esperyment [17] 3, Teoria [31] 3, Teoria [35] 5, Teoria [30] 4, Teoria [11] 2, Esperyment [28] 2, Π Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 3, Teoria [29] 2, Teoria [31] 2, Teoria [35] 2, Teoria [30] 2, Esperyment [28] Teoria [11] 2, Esperyment [28] Σ + Moje obliczenia 4, Teoria [16] 4, Teoria [12] 4, Teoria [31] 4, Teoria [35] 5, Kontynuacja na następnej stronie 23
25 Tabela 4.2 ontynuacja Stan Metoda R e D e Teoria [32] 4,812 - Teoria [11] 4, Σ + Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 3, Teoria [35] 3,36 - Teoria [30] 3, Teoria [11] Σ + Moje obliczenia 3, Σ + (Pierwsze minimum) Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 3, Teoria [11] 3, Σ + (Drugie minimum) Moje obliczenia 4, Teoria [16] 4, Teoria [12] 4, Teoria [11] 3, Σ + (Pierwsze minimum) Moje obliczenia 3, Σ + (Drugie minimum) Moje obliczenia 3, Teoria [16] 3, Teoria [12] 4, Teoria [11] 4, Π Moje obliczenia Teoria [16] 2, Teoria [12] 2, Teoria [11] 2, Zaprezentowane w powyższej tabeli wartości spretrosowe R e oraz D e są bardzo porównywalne z wartościami teoretycznymi, tóre uzysali między innymi Berriche [16], Schmidt-Min [12], Davies [35], Roach [30], Habitz [31]. Ponadto wynii esperymentalne, prezentowane przez Kappes [28], Engele[18], Nguyen [19], Pashov [27] są taże zbliżone do wyniów uzysanych przeze mnie. Porównanie moich wyresów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej moleuły N ali z wyniami teoretycznymi oraz esperymentalnymi zdaje się być solidnym ryterium porównawczym moich obliczeń. W dalszej części pracy magistersiej przedstawię zatem uzysane przeze mnie wyresy rzywych adiabatycznych energii potencjalnych omawianej moleuły oraz supię się taże na przedstawieniu wniosów wyniających z tego zestawienia. Na rysunu 4.1 przedstawiam rzywe adiabatyczne energii potencjalnej dla najniżej położonych stanów singletowych o symetrii Σ +, gdzie stan oznaczony termem moleularnym 1 1 Σ + jest podstawowym stanem cząsteczi sodu i litu. Z tabeli 4.2 można odczytać, że obliczone minimum energii tego stanu, tóre występuje w odległości R e = 2, 861Å 24
26 wynosi D e = 7183cm 1 i w porównaniu do wartości teoretycznych uzysanych przez Schmidt-Min [12] studnia potencjału jest o 126cm 1 głębsza i oddalona o 0.029Å. Na tle wyniów esperymentalnych Engele [18] obliczony przeze mnie stan 1 1 Σ + posiada studnie potencjału położoną bliżej o 0,024Å, a jego głęboość jest o 115cm 1 więsza. Pomiędzy stanami 4 1 Σ + a 5 1 Σ +, w odległości ooło 11a 0 można zauważyć zjawiso zwane avoided crossing, czyli zjawiso zabronionego przecięcia potencjału, tóre występuje jedynie dla stanów o tej samej symetrii i uwidacznia potencjały, tóre zbliżają się do siebie, ale na granicy zetnięcia odpychają się wzajemnie. Ponadto widać taże wyraźnie, że rzywe dla stanów 4 1 Σ + oraz 5 1 Σ + posiadają po dwa minima. Dla stanu 4 1 Σ + pierwsze minimum występuje w odległości 3, 289Å i w tym puncie studnia potencjału ma głęboość 6393cm 1, natomiast w drugim minimum w odległości 6, 738Å studnia potencjału jest głęboa na 4599cm 1. Stan 5 1 Σ + posiada pierwsze minimum o głęboości studni potencjału równej 5365cm 1 dla odległości 3, 794Å oraz drugie w puncie 3, 832Å, w tórym głęboość studni potencjału wynosi 5365cm 1. W stanie 4 1 Σ + wartość spetrosopowa D e = 4599cm 1 jest najbardziej zbliżona do tej uzysanej przez Berriche [16] - różnica wynosi 10cm 1. Kolejny rysune (4.2) prezentuje obliczone przeze mnie dwa stany singletowe o symetri Π. W tym przypadu nie istnieje zjawiso avoided crossing. Odczytane wartości R e oraz D e dla stanu 1 1 Π równają się odpowiednio 3,180Å i 1900cm 1 i ja widać są zbliżone do tych teoretycznych prezentowanych przez Schmidt-Min [12], jedna w moim przypadu studnia potencjału jest o 35cm 1 głębsza, ale już na tle wyniów esperymentalnych Engele [18] moja studnia jest płytsza o 10cm 1 i przesunięta o 0,061Å. Dane spetrosopowe, tóre obliczyłem w stanie 2 1 Π są najbardziej zbliżone do esperymentu Kappes [28], z tym że różnica pomiędzy głęboością studni potencjału wynosi 7cm 1. Krzywe adiabatyczne energii potencjalnej dla stanów trypletowych o symetrii Σ + prezentuje rysune 4.3. Bardzo widoczne jest zjawiso avoided crossing pomiędzy stanami 3 3 Σ + i 4 3 Σ + w otoczeniu puntu 7a 0. Dodatowo to zjawiso zabronionego przecięcia występuje między stanem 4 3 Σ + a stanem 5 3 Σ + tym razem w odległości 9, 5a 0. Wyznaczona przeze mnie rzywa adiabatyczna energii moleuły NaLi w stanie 5 3 Σ + posiada dwa minima loalne (pierwsze w odległości R e = 3, 193Å, dla tórej studnia potencjału D e = 5001cm 1, drugie w odległości R e = 3, 980Å i tutaj studnia potencjału D e = 5365cm 1. W pracach teoretycznych wsazane jest tylo jedno minium dla stanu 5 3 Σ +, na przyład w pracy Berriche [16] R e = 3, 985Å głęboość studni potencjału wynosi D e = 5553cm 1, w pracy Schmidt-Min [12] dla R e = 4, 009Å głęboość studni potencjału 25
27 wynosi D e = 5540cm 1 oraz w pracy Petsalais [11] dla R e = 4, 127Å głęboość studni potencjału wynosi D e = 5156cm 1. Stany trypletowe, tóre udało mi się wyznaczyć dla symetrii Π prezentuje rysune 4.4, gdzie widać, że rzywa w stanie 2 3 Π nie posiada minimum loalnego, zatem nie wyznaczyłem danych spetrosowych w tym przypadu. Jest to stan całowicie odpychający. Natomiast w stanie 1 3 Π istnieje minimum loalne w puncie R e = 2, 851Å i głęboość studni potencjału w tym puncie jest równa D e = 9095cm 1. W porównaniu z Berriche [16] wyznaczona przeze mnie studnia potencjału jest płytsza o 609cm 1. Obliczona przez Schmidt-Min [12] wartość D e jest więsza o 625cm 1 od mojego wyniu, a porównując się do Petsalais [11] uzysałem studnie potencjału płytszą o 573cm 1. Dla tych trzech porównań różnica w odległości R e wynosiła odpowienio 10Å, 17Å oraz 16Å. Na rysunach od 4.5 do 4.10 zestawiłem uzysane przeze mnie wynii z wyniami teoretycznymi Schmidt-Min [12] (porównanie z pięcioma stanami singletów o symetrii Σ +, dwoma stanami singletów o symetrii Π, pięcioma stanami trypletów o symetrii Σ + oraz dwoma stanami trypletów o symetrii Π) oraz z wyniami otrzymanymi doświadczalnie przez Bang [41] (porównanie z czwartym stanem singletu o symetrii Σ + ) i Fellows [21] (porównanie z pierwszym stanem singletu o symetrii Σ + ). Na rysunach od 4.5 do 4.8 porównałem wszystie otrzymane przeze mnie wyresy z wyresami Schmidt-Min [12]. Można stwierdzić, że więszość rzywych nałada się na siebie, co jest dowodem na poprawność uzysanych przeze mnie wyniów. Wyjąti występują tylo dla stanów 5 1 Σ + oraz 5 3 Σ +, gdzie dla odległości w otoczeniu puntu 5a 0 widoczne są odchylenia. W przypadu stanu 1 1 Σ + i porównania z Fellows [21] rzywe naładają się na siebie, z tym, że głęboość studni wyznaczonej przez Fellows [21] jest płytsza od uzysanej przeze mnie, co widać na rysunu 4.9. Porównanie na rysunu 4.10 z wyniami Bang [41] i Schmidt- Min [12] wsazuje, że rzywe porywają się w miejscach, w tórych występuje studnia potencjału, natomiast od odległości 15a 0 rzywa Schmidt-Min [12] zbiega szybciej do asymptoty Li(2s)+Na(4s). Wynii Fellows [21] i Bang [41] są to wynii esperymentalne, z tórymi uzysałem bardzo dobrą zgodność. 26
28 Li(3s)+Na(3s) Li(2s)+Na(4s) Li(2s)+Na(3p) Li(2p)+Na(3s) Li(2s)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.1: Krzywe energii potencjalnej obliczonych 5 stanów o symetrii 1 Σ +. 27
29 Li(2s)+Na(3p) 1 Li(2p)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.2: Krzywe energii potencjalnej obliczonych 2 stanów o symetrii 1 Π. 28
30 Li(3s)+Na(3s) Li(2s)+Na(4s) Li(2s)+Na(3p) Li(2p)+Na(3s) Li(2s)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.3: Krzywe energii potencjalnej obliczonych 5 stanów o symetrii 3 Σ +. 29
31 Li(2s)+Na(3p) 1 3 Li(2p)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.4: Krzywe energii potencjalnej obliczonych 2 stanów o symetrii 3 Π. 30
32 Kielmas Schmidt-Min[9] Li(3s)+Na(3s) Li(2s)+Na(4s) Li(2s)+Na(3p) Li(2p)+Na(3s) Li(2s)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.5: Porównanie obliczonych wyniów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej moleuły NaLi z teoretycznymi wyniami Schmidt-Min[9] dla stanów singletowych o symetrii Σ +. 31
33 Kielmas Schmidt-Min[9] 2 Li(2s)+Na(3p) 1 Li(2p)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.6: Porównanie obliczonych wyniów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej moleuły N ali z teoretycznymi wyniami Schmidt-Min[9] dla stanów singletowych o symetrii Π. 32
34 Kielmas Schmidt-Min[9] Li(3s)+Na(3s) Li(2s)+Na(4s) Li(2s)+Na(3p) Li(2p)+Na(3s) Li(2s)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.7: Porównanie obliczonych wyniów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej moleuły N ali z teoretycznymi wyniami Schmidt-Min[9] dla stanów trypletowych o symetrii Σ +. 33
35 Kielmas Schmidt-Min[9] 2 3 Li(2s)+Na(3p) 1 3 Li(2p)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.8: Porównanie obliczonych wyniów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej moleuły N ali z teoretycznymi wyniami Schmidt-Min[9] dla stanów trypletowych o symetrii Π +. 34
36 Kielmas Schmidt-Min[9] Fellows[38] Li(2s)+Na(3s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.9: Porównanie obliczonych wyniów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej moleuły N ali z teoretycznymi wyniami Schmidt-Min[9] oraz Fellows[38] dla stanów singletowych o symetrii Σ +. 35
37 Kielmas Schmidt-Min[9] Bang[40] Li(2s)+Na(4s) R [a 0 ] E [cm -1 ] Rysune 4.10: Porównanie obliczonych wyniów adiabatycznych rzywych energii potencjalnej moleuły N ali z teoretycznymi wyniami Schmidt-Min[9] oraz Brandt[18] dla stanów singletowych o symetrii Σ +. 36
38 5. Podsumowanie Podstawowym celem niniejszej pracy magistersiej było wyznaczenie rzywych adiabatycznych energii potencjalnej dla heterojądrowej cząsteczi NaLi i na podstawie otrzymanych wyniów obliczenie danych spetrosopowych R e - położenia równowagi i D e - energii wiązania. Mając do dyspozycji potężne narzędzie obliczeniowe jaim jest paiet programów MOLPRO [4] oraz wszelie informacje na temat jego onfiguracji zawarte w manualu tej apliacji, mogłem osiągnąć bardzo precyzyjne wynii, na tórych oparłem całą moją pracę. Zaimplementowane w MOLPRO funcje obliczeniowe bazują na podstawowych metodach ab inito, z tórych wyorzystałem przede wszystim metodę RHF, Multi oraz CI. W celu uzysania ja najbardziej doładnych wyniów zdecydowałem się sorzystać z bazy cc-pvqz, dla tórej podstawowe wyładnii funcji Gaussa orbitali atomowych s,p,d,f oraz g są dostępne w podręczniu użytownia programu MOLPRO, jedna postanowiłem rozszerzyć tę bazę dla trzech pierwszych podpowło. Wszelie dotychczasowe obliczenia doprowadziły mnie do uzysania łącznie czternastu stanów energii potencjalnej, w sład tórych wchodzi pięc stanów singletowych o symetrii Σ + (w tym stan podstawowy 1 1 Σ + oraz olejne stany wzbudzone 2 1 Σ +, 3 1 Σ +, 4 1 Σ +, 5 1 Σ + ), dwa stany trypletowe o symetrii Π (w tym 1 1 Π oraz 2 1 Π), pięć stanów trypletowych o symetrii Σ + (w tym 1 3 Σ +, 2 3 Σ +, 3 3 Σ +, 4 3 Σ + oraz 5 3 Σ + ) i dwa stany trypletowe o symetrii Π (mianowicie 1 3 Π oraz 2 3 Π). Doonane przeze mnie obliczenia przeprowadziłem w dość szeroim zaresie odległości międzyatomowych od 3a 0 do 88a 0 ze zróżnicowanym roiem. Wyznaczone w ramach tej pracy magistersiej stany energetyczne udostępniam w formie tabel w dodatu B (tabele od 1 do 4). Celem było taże sporządzenie porównania moich wyniów z wyniami zawartymi w pracach teoretycznych oraz esperymentalnych. Zgromadziłem zatem literaturę, tórej autorami są między innymi Schmidt-Min [12], do tórej porównuję się w najwięszym stopniu, Berriche [16], Bang [41], Fellows [21], Brandt [20] oraz wielu innych. Porównania przedstawiłem na rysunach od 4.5 do Oazało się, że uzysane przeze mnie wyresy rzywych adiabatycznych energii potencjalnych prawie idealnie porywają się z wyresami, tóre naniosłem jao porównanie. Co cieawe zauważyłem nie tylo zgodność z wyniami teoretycznymi, ale taże z wyniami doświadczalnymi, co dodatowo potwierdza wagę moich obliczeń jao wiary- 37
39 godnych i dzięi temu mogą być one wyorzystywane jao podstawa do olejnych badań zarówno teoretycznych ja i esperymentalnych. Sporządziłem dodatowo tabelę (4.2) z wyznaczonymi parametrami spetrosopowymi oraz zestawionymi wartościami R e i D e, pochodzącymi z literatury, jao ryterium dodatowego porównania. Ja widać wartości te są do siebie bardzo zbliżone, a najwięszą zgodność otrzymałem dla stanu singletowego 2 1 Π, gdzie różnica pomiędzy wyznaczoną przeze mnie głęboością studni potencjału a studnią w tym stanie wyznaczoną przez esperyment Kappes a [28] wynosiła jedynie 7cm 1. Moim zdaniem cel tej pracy magistersiej został zrealizowany. Uzysałem dane zgodne z wyniami prac dotychczasowych oraz udostępniłem je jao podstawę, tórą można rozwijać w wielu ierunach. Myślę taże, iż doonując odpowiednich usprawnień w pliu onfiguracyjnym programu MOLPRO, na przyład rozszerzając odpowiednie elementy pseudopotencjału, można by wyznaczyć znacznie więcej stanów energetycznych dla symetrii Σ + i Π w bardziej rozległym zaresie odległości. Usprawnienia przyczyniły by się taże do obliczenia stanów dla olejnych symetrii uładu, na przyład. 38
40 Bibliografia [1] P. Kowalczy, Fizya cząstecze. Energie i widma, Wydawnictwo Nauowe PWN, Warszawa [2] L. Piela, Idee chemii wantowej, Wydawnictwo Nauowe PWN, Warszawa [3] H.-J. Werner, P. J. Knowles, Molpro. User s manual. Version , University Collage Cardiff Consultants Limited, Cardiff, [4] MOLPRO is a pacage of ab initio programs written by H.-J. Werner, P. J. Knowles, R. Lindh, F. R. Manby, M. Schütz, P. Celani, T. Korona, G. Rauhut, R. D. Amos, A. Bernhardsson, A. Berning, D. L. Cooper, M. J. O. Deegan, A. J. Dobbyn, F. Ecert, C. Hampel, G. Hetzer, A. W. Lloyd, S. J. McNicholas, W. Meyer, M. E. Mura, A. Niclaß, P. Palmieri, R. Pitzer, U. Schumann, H. Stoll, A. J. Stone, R. Tarroni, and T. Thorsteinsson. [5] P. Fuentealba, H. Preuss, H. Stoll, L. Von Szentply, A proper account of corepolarization with pseudopotentials: single valence-electron alali compounds, Chem. Phys. Letters 89, 418 (1982). [6] M. M. Hessel Experimental Observation of the NaLi Molecule, Fordham University, Bronx, New Yor, 26, 215 (1970 [7] Broos, Anderson, Ramsey, JCP, 56, 5193 (1972) [8] Graff, Dagdingian, Wharton, JCP, 57, 710 (1972) [9] T.H. Dunning, D.E. Woon, [10] Ch.E. Moore, Atomic energy levels as derived from the analyses of optical spectra. Volume I, Circular of the National Bureau of Standards 467, U. S. Government Printing Office, Washington
41 [11] Ioannis D. Petsalais, Demeter Tzeli, and Giannoula Theodoraopoulosa Theoretical study on the electronic states of NaLi, 2008 [12] Schmidt-Min, W. Muller and W. Meyer, Potential energy curves for ground and excited with effective states of NaLi potentials from ab inito calculations core polarizations potentials, 121, (1984). [13] W. Muller and W. Meyer, J. Chem. Phys. 80, 3311 (1984). [14] I. Schmidt-Min, W. Muller, and W. Meyer, Chem. Phys. Lett. 112, 120 (1984). [15] S. Bashin and J-0. Stoner Jr. Atomic energy lcvcls and Grotrian diagrams. VoL 1 (North-Holland, Amsterdam,1975). [16] N Mabrou and H Berriche Theoretical study of the NaLi molecule: potential energy curves, spectroscopic constants, dipole moments and radiative lifetimes (2008) [17] Pfluger F, Gerber G and Baumgartner G 1979 Verhlg D P G [18] Engele F, Ennen G and Meiwes K H 1982 Chem.Phys. 66 (1982) 391 [19] Nguyen H B, Grochola A, Jastrzebsi W and Kowalczy P 2007 Chem. Phys. Lett. 440 [20] F. Jenc and B. A. Brandt Potentials of the First Excited (A) State of LiNa, Na2, and K2 by the Generalized Reduced Potential Curve Method 152, (1992) [21] C. E. Fellows,J. Chem. Phys. 94, (1991). [22] I. Schmidt-Min,W. Muller, AND W. Meyer, Chem. Phys. 92, ( 1985). [23] C. E. Fellows, J. Mol. Spectrosc. 136, ( 1989). [24] P. Rosmus and W. hlcyer, J. Chem. Phys. 65 (1976) 492. [29] P.J. Bertoncini, G. Das and AC. Wahl, I. Chem. Phys. 52 (1970) 5112 [30] AC. Roach, J. MoL Spectry. 42 (1972) 27. [27] W. Jastrzebsi, P. Kowalczy, R. Nadya, A. Pashov Spectroscopic study of the E(4)1S+ state in NaLi (2001) 40
42 [28] M.M. Kappes, K.O. Marti, P. Radi, M. Schar, E. Schumacher, Chem. Phys. Lett. 107 (1984) 6. [29] P.J. Bertoncini, G. Das and AC. Wahl, I. Chem. Phys.52 (1970) [30] AC. Roach, J. MoL Spectry. 42 (1972) 27. [31] P. Habitz, 1V.H.E. Schwarz and R. Ahhichs, J. Chem.Phys. 66 (1977) [32] Merawa M, Begue D and Dargelos A 2003 Chem. Phys. Lett [33] S. Huzinaga,TechnicaI Report Approlimatc Atomic Functions I and II, Division of Theoretical Chemistry, University of Alberta (1971). unpublished [34] S. Bashin and J-0. Stoner Jr.. Atomic energy lcvcls and Grotrian diagrams. VoL 1 (North-Holland, Amsterdam,1975). [35] D.W. Davies and G.R. Jones, CJrem. Phys. Letters 8 1 (1981) 279. [36] D.D. Konowalow rind h1.e. Rosenrsntz, Chem. Phys Letters 49 (1977) 54. [37] C. E. Fellows, J. Mol. Spectrosc. 136, (1989) [38] C. E. Fellows, J. Verges, and C. Amiot, J. Chem. Phys. 93, [39] C. E. Fellows, J. Chem. Phys. 94, (1991) [40] W. Jastrzebsi, P. Kowalczy, R. Nadya, and A. Pashov, Spectrochim. Acta, Part A 58, [41] N. H. Bang, W. Jastrzebsi, and P. Kowalczy, J. Mol. Spectrosc [42] N. H. Bang, A. Grochola, W. Jastrzebsi, and P. Kowalczy, Spectroscopy of mixed alali in dimers by the polarization labeling technique:application to NaLi and NaRb molecules Opt. Mater. in press. [43] P. Scharoch, J. Peisert, Metody obliczeniowe ab inito w fizyce strutur atomowych 92 [44] C. Bordas, M. Broyer and J.L. Vialle, J. Chem. Phys. 92, 4030 (1990). 41
43 Dodate A Tabele potencjałów adiabatycznych Tabela 1: Adiabatyczne rzywe energii potencjalnej cząsteczi NaLI dla olejnych stanów o symetrii Σ +. Odległości miedzyatomowe R podane są w a 0, natomiast wartości energi w cm 1. R 1 1 Σ Σ Σ Σ Σ + 88,0-0, , , , ,833 86,0-0, , , , ,831 84,0-0, , , , ,829 82,0-0, , , , ,827 80,0-0, , , , ,825 78,0-0, , , , ,822 74,0-0, , , , ,814 72,0-0, , , , ,809 70,0-0, , , , ,805 68,0-0, , , , ,796 66,0-0, , , , ,787 64,0-0, , , , ,776 62,0-0, , , , ,763 60,0-0, , , , ,746 58,0-0, , , , ,726 56,0-0, , , , ,695 54,0-0, , , , ,660 52,0-0, , , , ,614 50,0-0, , , , ,553 48,0-0, , , , ,471 46,0-0, , , , ,362 42,0-0, , , , ,008 40,0-0, , , , ,719 38,0-0, , , , ,304 36,0-0, , , , ,683 34,0-0, , , , ,730 32,0-0, , , , ,183 30,0-0, , , , ,474 28,0-0, , , , ,172 26,0-1, , , , ,149 Kontynuacja na następnej stronie I
44 Tabela 1 ontynuacja R 1 1 Σ Σ Σ Σ Σ + 22,0-3, , , , ,527 20,0-6, , , , ,756 19,0-8, , , , ,617 18,0-12, , , , ,594 17,0-17, , , , ,771 16,0-27, , , , ,019 15,0-43, , , , ,109 14,4-59, , , , ,043 14,0-74, , , , ,461 13,5-99, , , , ,815 12,5-183, , , , ,140 12,0-253, , , , ,454 11,5-352, , , , ,169 11,0-494, , , , ,072 10,5-693, , , , ,168 10,0-971, , , , ,967 9,5-1349, , , , ,340 9,0-1850, , , , ,834 8,8-2151, , , , ,381 8,5-2487, , , , ,817 8,3-2859, , , , ,779 8,0-3263, , , , ,805 7,8-3696, , , , ,594 7,5-4154, , , , ,552 7,0-5110, , , , ,440 6,6-5862, , , , ,946 6,4-6211, , , , ,628 6,2-6528, , , , ,540 6,0-6801, , , , ,263 5,8-7013, , , , ,144 5,6-7147, , , , ,435 5,4-7182, , , , ,988 5,2-7094, , , , ,206 5,0-6855, , , , ,824 4,8-6434, , , , ,506 4,6-5795, , , , ,250 4,4-4902, , , , ,774 4,2-3715, , , , ,723 4,0-2195, , , , ,406 3,8-310, , , , ,255 3,6 1967, , , , ,639 3,4 4655, , , , ,745 3,2 7756, , , , , , , , , ,192 II
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoWykład 8. Stany elektronowe molekuł dwuatomowych
Wyład 8 Stany eletronowe moleuł dwuatomowych Całowita energia cząsteczi: E t E e E V E r E e energia eletronowa, E v energia oscylacji, E r energia rotacji Zares fal eletromagnetycznych obserwowanych przy
Bardziej szczegółowo4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)
256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia
Bardziej szczegółowoWykład 21: Studnie i bariery cz.1.
Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera
Bardziej szczegółowo(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej
3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowojednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery
Reprezentacje grup puntowych związi pomiędzy h i n a jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystich reprezentacji grup puntowych, a związi ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charatery oznaczenia:
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE BADANIE STRUKTURY ELEKTRONOWO-OSCYLACYJNEJ I PROCESU FOTODYSOCJACJI CZĄSTECZKI LITU. Patryk Jasik
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Kwantowej Rozprawa doktorska TEORETYCZNE BADANIE STRUKTURY ELEKTRONOWO-OSCYLACYJNEJ I PROCESU
Bardziej szczegółowoWyznaczanie krzywych energii potencjalnej dla wybranych cząsteczek dwuatomowych
Wyznaczanie krzywych energii potencjalnej dla wybranych cząsteczek dwuatomowych Wstęp Krzywa energii potencjalnej 1 to wykres zależności energii potencjalnej cząsteczek od długości wiązania (czyli od wzajemnej
Bardziej szczegółowoMODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH
MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoR w =
Laboratorium Eletrotechnii i eletronii LABORATORM 6 Temat ćwiczenia: BADANE ZASLACZY ELEKTRONCZNYCH - pomiary w obwodach prądu stałego Wyznaczanie charaterysty prądowo-napięciowych i charaterysty mocy.
Bardziej szczegółowoMETODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ
Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe *
Ćwiczenie 3 Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe * 1 Ćwiczenie 3 Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe * I. Narysuj etylen a) Wybierz Default
Bardziej szczegółowoAtomy wieloelektronowe
Wiązania atomowe Atomy wieloelektronowe, obsadzanie stanów elektronowych, układ poziomów energii. Przykładowe konfiguracje elektronów, gazy szlachetne, litowce, chlorowce, układ okresowy pierwiastków,
Bardziej szczegółowoWykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)
Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci
Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoA4: Filtry aktywne rzędu II i IV
A4: Filtry atywne rzędu II i IV Jace Grela, Radosław Strzała 3 maja 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, tórych używaliśmy w obliczeniach: 1. Związe między stałą czasową
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Zagadnienia: spektroskopia emisyjna, budowa i działanie spektrofluorymetru, widma. Wstęp. Część teoretyczna.
Ćwiczenie 4 Wyznaczanie wydajności wantowej emisji. Wpływ długości fali wzbudzenia oraz ształtu uweti i jej ustawienia na intensywność emisji i na udział filtru wewnętrznego. Zagadnienia: spetrosopia emisyjna,
Bardziej szczegółowoPROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE
PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś
Bardziej szczegółowoModelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne
Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 9 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoże w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?
TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoc) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe
TEST 1. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f 1 i f są funkcjami własnymi operatora, przy czym: f 1 =1.05 f 1 i f =.41 f. Stan pewnej cząstki opisuje znormalizowana funkcja 1 3 falowa = f1 f. Jakie jest
Bardziej szczegółowoStany stacjonarne w potencjale centralnym
3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 149 Rozdział 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu 14.1.1 Przypomnienie lasycznego problemu Keplera Rozważmy cząstę
Bardziej szczegółowoRecenzja pracy doktorskiej mgr Tomasza Świsłockiego pt. Wpływ oddziaływań dipolowych na własności spinorowego kondensatu rubidowego
Prof. dr hab. Jan Mostowski Instytut Fizyki PAN Warszawa Warszawa, 15 listopada 2010 r. Recenzja pracy doktorskiej mgr Tomasza Świsłockiego pt. Wpływ oddziaływań dipolowych na własności spinorowego kondensatu
Bardziej szczegółowoMetody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna
Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Bardziej szczegółowoWyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spektrometru siatkowego
Politechnia Łódza FTIMS Kierune: Informatya ro aademici: 2008/2009 sem. 2. Termin: 16 III 2009 Nr. ćwiczenia: 413 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spetrometru siatowego Nr.
Bardziej szczegółowoKoła rowerowe malują fraktale
Koła rowerowe malują fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Rozważmy urządzenie sładającego się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi prędościami. Na obręczy danego oła, obracającego
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 5
Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoREFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.
REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne
Wydział PRACOWNA FZYCZNA WFi AGH mię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Cel
Bardziej szczegółowoWyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze
Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...
Bardziej szczegółowoQ strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania:
Filtracja to zjawiso przepływu płynu przez ośrode porowaty (np. wody przez grunt). W więszości przypadów przepływ odbywa się ruchem laminarnym, wyjątiem może być przepływ przez połady grubego żwiru lub
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 10 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoWyznaczanie ciepła topnienia lodu lub ciepła właściwego wybranego ciała
dla specjalnośći Biofizya moleularna Wyznaczanie ciepła topnienia lodu lub ciepła właściwego wybranego ciała I. WSTĘP C 1 C 4 Ciepło jest wielością charateryzującą przepływ energii (analogiczną do pracy
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław OŁOŃSI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii obliczeniowej
Podstawy chemii obliczeniowej Anna Kaczmarek Kędziera Katedra Chemii Materiałów, Adsorpcji i Katalizy Wydział Chemii UMK, Toruń Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki 2015 Plan wykładu 15 godzin
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi
Bardziej szczegółowo(Ćwiczenie nr 4) Wpływ siły jonowej roztworu na stałą szybkości reakcji.
(Ćwiczenie nr 4) Wpływ siły jonowej roztworu na stałą szybości reacji Wstęp Rozpatrzmy reację zachodzącą w roztworze pomiędzy jonami i w wyniu tórej powstaje produt D: D stała szybości reacji () Gdy reacja
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoDSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 5. Przemysław Korohoda, KE, AGH
DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH Instrucja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 5 Wybrane właściwości Dysretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość
Bardziej szczegółowoTemat ćwiczenia: POMIARY W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO. A Lp. U[V] I[mA] R 0 [ ] P 0 [mw] R 0 [ ] 1. U 0 AB= I Z =
Laboratorium Teorii Obwodów Temat ćwiczenia: LBOTOM MD POMY W OBWODCH LKTYCZNYCH PĄD STŁGO. Sprawdzenie twierdzenia o źródle zastępczym (tw. Thevenina) Dowolny obwód liniowy, lub część obwodu, jeśli wyróżnimy
Bardziej szczegółowoPrognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1
Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy
Bardziej szczegółowoWpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym
Wpływ zamiany typów eletrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Grzegorz Barzy Paweł Szwed Instytut Eletrotechnii Politechnia Szczecińsa 1. Wstęp Ostatnie ila lat,
Bardziej szczegółowoAnaliza parametrów rozszczepienia zero-polowego oraz pola krystalicznego dla jonów Mn 2+ i Cr 3+ domieszkowanych w krysztale YAl 3 (BO 3 ) 4
Analiza parametrów rozszczepienia zero-polowego oraz pola rystalicznego dla jonów Mn 2+ i Cr 3+ domieszowanych w rysztale YAl 3 (BO 3 ) 4 Paweł Gnute & Muhammed Açıgöz Czesław Rudowicz Strutura ryształu
Bardziej szczegółowo1. Struktura pasmowa from bonds to bands
. Strutura pasmowa from bonds to bands Wiązania owalencyjne w cząsteczach Pasma energetyczne w ciałach stałych Przerwa energetyczna w półprzewodniach Dziura w paśmie walencyjnym Przybliżenie prawie swobodnego
Bardziej szczegółowoPLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy
PLAN WYKŁADU Algorytm mrówowy OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wyład 8 dr inż. Agniesza Bołtuć (ANT SYSTEM) Inspiracja: Zachowanie mrówe podczas poszuiwania żywności, Zachowanie to polega na tym, że jeśli do żywności
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1
ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 Andrzej Zięba Pomiary wielości fizycznych mogą być doonywane tylo ze sończoną doładnością. Powodem tego jest niedosonałość przyrządów pomiarowych i nieprecyzyjność
Bardziej szczegółowoSterowanie Ciągłe. Używając Simulink a w pakiecie MATLAB, zasymulować układ z rysunku 7.1. Rys.7.1. Schemat blokowy układu regulacji.
emat ćwiczenia nr 7: Synteza parametryczna uładów regulacji. Sterowanie Ciągłe Celem ćwiczenia jest orecja zadanego uładu regulacji wyorzystując następujące metody: ryterium amplitudy rezonansowej i metodę
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoTeoria Orbitali Molekularnych. tworzenie wiązań chemicznych
Teoria Orbitali Molekularnych tworzenie wiązań chemicznych Zbliżanie się atomów aż do momentu nałożenia się ich orbitali H a +H b H a H b Wykres obrazujący zależność energii od odległości atomów długość
Bardziej szczegółowokoszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału.
Modele strutury apitału oszt apitału Optymalna strutura apitału dźwignia finansowa / Rys. 8.3. Krzywa osztów apitału. Założenia wspólne modeli MM Modigliani i Miller w swoich rozważaniach ograniczyli się
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowoTEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH
TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH Skolektywizowane elektrony w metalu Weźmy pod uwagę pewną ilość atomów jakiegoś metalu, np. sodu. Pojedynczy atom sodu zawiera 11 elektronów o konfiguracji 1s 2 2s 2 2p 6 3s
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:
Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej Równanie Schrödingera: ĤΨ = EΨ Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = h 2 K α=1 1 2M α 2 α h2 2m
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Rozdział 8: Drgania samowzbudne
WYKŁAD 5 Rozdział 8: Drgania samowzbudne 8.. Istota uładów i drgań samowzbudnych W tym wyładzie omówimy właściwości drgań samowzbudnych [,4], odróżniając je od poznanych wcześniej drgań swobodnych, wymuszonych
Bardziej szczegółowoGrupowanie sekwencji czasowych
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 3, 006 Grupowanie sewencji czasowych Tomasz PAŁYS Załad Automatyi, Instytut Teleinformatyi i Automatyi WAT, ul. Kalisiego, 00-908 Warszawa STRESZCZENIE: W artyule
Bardziej szczegółowoProgramowanie wielocelowe lub wielokryterialne
Programowanie wielocelowe lub wieloryterialne Zadanie wielocelowe ma co najmniej dwie funcje celu nazywane celami cząstowymi. Cele cząstowe f numerujemy indesem = 1, 2, K. Programowanie wielocelowe ciągłe.
Bardziej szczegółowoPomiary napięć przemiennych
LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych
Bardziej szczegółowo, to niepewność sumy x
Wydział Fizyi UW (wersja instrucji 04.04a) Pracownia fizyczna i eletroniczna dla Inżynierii Nanostrutur oraz Energetyi i Chemii Jądrowej Ćwiczenie 6 Elementy testowania hipotez (z błędami złożonymi) oraz
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowo13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He
Bardziej szczegółowoWłaściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjonału gęstości
Teoria funkcjonału gęstości Łukasz Rajchel Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytet Warszawski lrajchel1981@gmail.com Wykład dostępny w sieci: http://tiger.chem.uw.edu.pl/staff/lrajchel/
Bardziej szczegółowoModel wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2
Model wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2 + Współrzędne elektronu i protonów Orbitale wiążący i antywiążący otrzymane jako kombinacje orbitali atomowych Orbital wiążący duża gęstość ładunku między jądrami
Bardziej szczegółowoP k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =
Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne Rozwiązania zadań
Metody robabilistyczne Rozwiązania zadań 6. Momenty zmiennych losowych 8.11.2018 Zadanie 1. Poaż, że jeśli X Bn, to EX n. Odowiedź: X rzyjmuje wartości w zbiorze {0, 1,..., n} z rawdoodobieństwami zadanymi
Bardziej szczegółowoProgram MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=
Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną
Bardziej szczegółowoMetoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 )
MATEMATYKA STOSOWANA 7, 2006 Izabella Czochralsa (Warszawa) Metoda rozwiązywania uładu równań liniowych z symetryczną, nieoreśloną macierzą współczynniów ( 0 ) Streszczenie. W pracy zaadaptowano opracowaną
Bardziej szczegółowoMETODA OBLICZEŃ TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH Z ZASTOSOWANIEM DWUPARAMETRYCZNYCH CHARAKTERYSTYK ZMĘCZENIOWYCH
METODA OBLICZEŃ TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH Z ZASTOSOWANIEM DWUPARAMETRYCZNYCH CHARAKTERYSTYK ZMĘCZENIOWYCH Bogdan LIGAJ *, Grzegorz SZALA * * Katedra Podstaw Konstrucji Maszyn, Wydział
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWEJ RBF W REGULATORZE KURSU STATKU
Mirosław Tomera Aademia Morsa w Gdyni Wydział Eletryczny Katedra Automatyi Orętowej ZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWEJ RBF W REGULATORZE KURSU STATKU W pracy przedstawiona została implementacja sieci neuronowej
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. . (odp. a)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 11 Rzucamy trzy razy monetą A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie Oreślić zbiór zdarzeń elementarnych Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoTEORIA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) dr Henryk Myszka - Uniwersytet Gdański - Wydział Chemii
TERIA RBITALI MLEKULARNYCH (M) Metoda (teoria) orbitali molekularnych (M) podstawy metody M - F. Hund, R.S. Mulliken Teoria M zakłada, że zachowanie się elektronu w cząsteczce opisuje orbital molekularny
Bardziej szczegółowoĆwiczenie VI KATALIZA HOMOGENICZNA: ESTRYFIKACJA KWASÓW ORGANICZNYCH ALKOHOLAMI
Zjawisa powierzchniowe i ataliza Ćwiczenie VI ATALIZA HMGNIZNA: STYFIAJA WASÓW GANIZNYH ALHLAMI WPWADZNI stry wasów organicznych stanowią jedną z ważniejszych grup produtów przemysłu chemicznego, ta pod
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji nieliniowej (metody programowania nieliniowego) Ewa Niewiadomska-Szynkiewicz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej
Metody optymalizacji nieliniowej metody programowania nieliniowego Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz Instytut Automatyi i Inormatyi Stosowanej Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz ens@ia.pw.edu.pl Instytut Automatyi i
Bardziej szczegółowoKomputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d
Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi
Bardziej szczegółowoColloquium 3, Grupa A
Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące
Bardziej szczegółowo