1.1 Oscylator harmoniczny prosty

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1.1 Oscylator harmoniczny prosty"

Transkrypt

1 1 Wstęp 1.1 Oscylator harmoniczny prosty Oscylator harmoniczny prosty jest to każdy układ, którego ruch opisuje funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego postaci: d x(t) dt + ω 0x(t) = 0 (1) Rysunek 1: Przykład oscylatora harmonicznego prostego. Rozważmy ruch ciała zaczepionego na sprężynie, jak na??. Jeżeli możemy pominąć tarcie, jedyną siłą działającą na to ciało jest siła sprężystości, która zgodnie z prowem Hooke a wynosi F(t) = kx(t), gdzie x(t) jest chwilowym wychyleniem ciała z położenia równowagi, a k jet stałą sprężystości sprężyny. Minus przed współczynnikiem k wynika z faktu, iż siła w każdej chwili jest skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona: ma(t) = kx(t), () gdzie a(t) jest chwilowym przyspieszeniem ciała, czyli drugą pochodną x(t) po czasie. Jeśli oznaczymy czynnik k m jako ω, otrzymamy równanie 1, 0 zatem taki układ możemy nazwać oscylatorem harmonicznym prostym. Równanie 1 jest jednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Sposób rozwiązania takiego równania zostanie przedstawiony na przykładzie zadania nr 3. W ogólności rozwiązanie ma następującą postać: lub: x(t) = B 1 cos ω 0 t + B sin ω 0 t (3) 1

2 gdzie: x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) (4) A = B 1 + B (5) W powyższym równaniu A oznacza amplitudę drgań czyli maksymalne wychylenie, ϕ fazę początkową, a ω 0 częstość kołową drgań własnych, równą ω = π T, (6) gdzie T jest okresem oscylacji czyli czasem jednego drgania. Amplituda oraz prędkość maksymalna oscylatora zależą od warunków początkowych, natomiast częstość kołowa drgań wasnych zależy tylko od parametrów układu (w tym przypadku rodzaj sprężyny i masa ciała). Zależność prędkości od czasu v(t) obliczamy jako pierwszą pochodną po czasie funkcji opisującej wychylenie x(t), a zależność przyspieszenia od czasu a(t) jako drugą pochodną funkcji x(t) po czasie: v(t) = dx(t) dt = Aω 0 sin(ω 0 t + ϕ) (7) a(t) = d x(t) dt = Aω 0 cos(ω 0t + ϕ) (8) Rysunek : Zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia oscylatora prostego od czasu dla ϕ = 0. Na wykresie widać, że ruch rozpatrywanego układu polega na drganiach wokół pewnego punktu równowagi ze stałą amplitudą. Jest to ruch harmoniczny prosty. Przykładem oscylatora harmonicznego mogą być: masa zaczepiona na sprężynie, wahadło matematyczne, wahadło fizyczne

3 czy układ elektryczny złożony z pojemności elektrycznej C i indukcyjności L. Energia kinetyczna oscylatora harmonicznego wyraża się wzorem : E k (t) = mv(t) = ma ω 0 sin (ω 0 t + ϕ) natomiast energia potencjalna wzorem: E p (t) = kx = ma ω 0 cos (ω 0 t + ϕ) (10) Całkowita energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej czyli: (9) E c (t) = ma ω 0 (11) Rysunek 3: Zależność energii kinetycznej, potencjalnej i całkowitej od czasu oscylatora prostego dla ϕ = Składanie drgań, dudnienia Jeżeli rozpatrywany układ uczestniczy w kilku niezależnych ruchach harmonicznych, to jej drgania są superpozycją ruchów składowych. Drgania podlegają zasadzie superpozycji, więc jeżeli ruch jest wynikiem złożenia dwóch drgań, to wypadkowe wychylenie oscylatora jest sumą wychyleń związanych z drganiami składowymi. Jeżeli drgania składowe x 1 i x mają zbliżone (lecz inne) częstości kołowe, ale równe amplitudy: to wypadkowe drgania będą opisane funkcją: x 1 = Acos(ω 1 t) (1) x = Acos(ω t), (13) 3

4 x(t) = x 1 + x = A cos( ω 1 ω t)cos( ω 1 + ω t) (14) Drgania o takiej postaci nazywamy dudnieniami. ω 1+ω jest częstością drgań wypadkowych, a czynnik A cos( ω 1 ω ) jest funkcją określającą zmiany amplitudy, a więc ω 1 ω jest częstością z jaką zmienia się wartość amplitudy czyli częstością dudnień. Rysunek 4: Zielona linia przedstawia superpozycję drgań składowych (linia niebieska i czerwona) w postaci dudnień. 1.3 Oscylator harmoniczny tłumiony Równanie oscylatora tłumionego Załóżmy, że układ opisany w 1.1 znajduje się w ośrodku o współczynniku oporu b. Wówczas na ciało działa siła oporu, której wartość jest wprost proporcjonalna do jego prędkości. Oznacza to, że wypadkowa siła działająca na ciało jest sumą siły sprężystości i siły oporu ośrodka. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona: ma(t) = kx(t) bv(t) (15) d x(t) dt + Γ dx(t) + ω dt 0x(t) = 0 (16) Gdzie Γ = b m nazywamy współczynnikiem tłumienia. W zależności od relacji między częstością kołową drgań własnych ω 0, a Γ otrzymamy różne rozwiązania takiego równania: Oscylator słabo tłumiony (4ω 0 Γ ): x(t) Ae Γ t cos(ω 0 t + ϕ) (17) 4

5 Oscylator silnie tłumiony (4ω 0 > Γ ): x(t) = Ae Γ t cos( ω Γ t + ϕ) (18) Oscylator tłumiony krytycznie (4ω 0 Γ ): Oscylator prztłumiony (4ω 0 < Γ ): x(t) = Ae Γ t (19) Oscylator tłumiony krytycznie oraz przetłumiony nie poruszają się ruchem periodycznym. Drgania obserwujemy jedynie w przypadku gdy (4ω 0 > Γ ). Zależność wychylenia od czasu w takim przypadku przedstawia wykres: Rysunek 5: Zależność wychylenia od czasu oscylatora tłumionego dla ϕ = Logarytmiczny dekrement tłumienia Logarytmiczny dekrement tłumienia definiujemy jako logarytm naturalny stosunku kolejnych (następujących po sobie po czasie jednego okresu) amplitud: ale Λ = ln A n A n+1 (0) A n+1 = A n e Γ T (1) Zatem Logarytmiczny dekrement tłumienia możemy wyrazić wzorem: 5

6 1.4 Oscylator wymuszony. Rezonans Λ = Γ T () Jeżeli Jeżeli do układu masy na sprężynie przyłożymy zewnętrzną siłę zmienną, opisaną funkcją periodyczną, np.: rys F(t) = F 0 cos(ωt) (3) to siła wypadkowa będzie sumą siły sprężystości, siły oporu ośrodka i siły zewnętrznej: ma(t) = kx(t) bv(t), (4) a równanie 16 przyjmie postać: d x(t) dt + Γ dx(t) + ω dt 0 x(t) = F 0 cos(ωt) (5) m Rozwiązanie ogólne równania 5 jest dość złożone: x(t) = e Γ t [C 1 cos(ω 0 t) + C sin(ω 0 t)] + B 1 cos(ωt) + B sin(ωt), (6) gdzie B 1 i B wynoszą odpowiednio: B 1 = F 0 Γω m (ω 0 (7) ω ) + Γ ω B = F 0 ω 0 ω m (ω 0 (8) ω ) + Γ ω Stałe C 1 i C możemy wyznaczyć na podstawie zadanych warunków brzegowych. Funkcja 6 opisuje ruch złożony z dwóch ruchów drgających. Jeden z nich ma częstość drgań taką jak w przypadku oscylatora tłumionego, natomiast drugi ma częstość kołową równą częstości zmian siły zewnętrznej. Zauważmy, że pierwszy składnik równania 6 : e Γ t [C 1 cos(ω 0 t)+ C sin(ω 0 t)] jest identyczny z funkcją opisującą drgania tłumione. Oznacza to, że po pewnym czasie te drgania wygasają. Każdy oscylator wymuszony, po pewnym czasie poruszą się zgonie z funkcją x(t) = B 1 cos(ωt) + B sin(ωt) (9) 6

7 Taki rodzaj drgań wymuszonych nazywami drganiami stacjonarnymi. Zauważmy, że ich postać nie zależy od warunków początkowych, a niezależnie od wartości częstości drgań własnych, układ porusza się z częstością siły wymuszającej. Korzystając z zależności trygonometrycznych, funkcję 9 możemy zapisać następująco: gdzie: x(t) = A cos(ωt + ϕ), (30) A = F 0 (31) m (ω 0 ω ) + Γ ω Γω tan ϕ = ω ω (3) 0 Łatwo udowodnić, że amplituda drgań A przyjmuje największą wartość dla częstości kołowej ω o wartości: ω r = ω 0 Γ (33) Jest to tak zwana częstość rezonansowa. Rezonans jest to zjawisko zachodzące tylko dla drgań wymuszonych i polegające na tym, że dla wartości częstości siły wymuszającej równej ω r amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Zwróćmy uwagę, że jeżeli opór ośrodka jest bardzo mały (Γ 0), to ω r ω 0, a wartość amplitudy zmierza do nieskończoności. 1.5 Ruch falowy Fala jest to zaburzenie ośrodka rozchodzące się w przestrzeni ze stałą prędkością. W przypadku fal mechanicznych tym zaburzeniem mogą być drgania cząsteczek ośrodka (musi to być zatem ośrodek materialny), natomiast w przypadku fal elektro - magnetycznych tym zaburzeniem są drgania pola elektrycznego i pola magnetycznego (może to być ośrodek materialny lub próżnia). Należy pamiętać, że fala nie przenosi materii, natomiast transportuje energię Funkcja falowa Stwierdziliśmy, że fala jest przemieszczającym cię zaburzeniem, np. w postaci drgań cząsteczek ośrodka. Oznacza to, że jeżeli w chwili t = 0 7

8 cząsteczka w punkcie z ma wychylenie ψ(z, 0) = g(z ), to po upływie czasu t, cząsteczka w punkcie punkcie z = z + vt, gdzie v to prędkość fali, ma takie samo wychylenie: ψ(z, t) = ψ(z vt, 0) = g(z vt). Funkcja g może być zatem dowolną funkcją o argumencie (z vt), a jej postać decycuje o kształcie zaburzeń ośrodka. W naturze najczęściej spotykane są fale sinusoidalne, czyli np.: ψ(z, t) = Acosα(z vt + ϕ), (34) Gdzie A jest amplitudą, α jest pewną stałą, a ϕ jest przesunięciem fazowym fali. Prędkość fali jest stosunkiem długości fali do jej okresu: v = λ T. Ponieważ π λ = k, gdzie k jest liczbą falową, a π T = ω, prędkość fali wyraża wzór: a funkcja falowa ma postać: v = ω k, (35) ψ(z, t) = Acos(ωt kz + ϕ) (36) Prędkość 35 jest prędkością, z jaką przemieszczają się punkty będące w tej samej fazie drgań i nazywamy je prędkością fazową. Zależyona od rodzaju fali i od właściwości ośrodka, w którym się rozchodzi. Poniżej przedstawione są przykładowe wyrażenia na prędkość fazową w wybranych ośrodkach dla fal mechanicznych: fala poprzeczna w strunie o gęstości liniowej µ i naprężonej siłą T 0 : T 0 v = (37) µ fala podłużnana w pręcie o gęstości ρ i module Younga E: E v = ρ fala podłużna w gazie o ciśnieniu p i gęstości ρ: (38) v = i dla fal elektromagnetycznych: κp ρ (39) 8

9 w próżni: w ośrodku materialnym: v = v = 1 (40) µ 0 ε 0 1 (41) µ 0 µ r ε 0 ε r 1.5. Fale stojące Rozważmy falę poprzeczną ψ i (x, t) = sin(ωt kx), rozchodzącą się w strunie zamocowanej na obu końcach. Fala poruszająca się w prawo odbija się od prawego końca. Fala odbita od ośrodka gęstszego jest przesunięta w fazie o π i porusza się w lewo, więc opisuje ją funkcja ψ r(x, t) = sin(ωt + kx + π ). Fala wypadkowa jest zatem wynikiem nałożenia się dwóch fal: padającej ψ i (x, t) i odbitej ψ r (x, t): ψ(x, t) = ψ i (x, t) + ψ r (x, t) = A sin(ωt kx) + A sin(ωt + kx + π ) (4) Amplituda drgań cząsteczek struny zależy zatem od położenia, ale nie zależy od czasu : Falę stojącą przedstawia rysunek 6. ψ(x, t) = A sin(kx)cos(ωt) (43) Efekt Dopplera Częstotliwość fali wysyłanej przez źródło ν 0 jest równa częstotliwości obserwowanej tylko wtedy, gdy źródło nie porusza się względem odbiornika. W przeciwnym wypadku częstotliwość fali obserwowanej ν wyraża się wzorem: v + / v o ν = ν 0, (44) v / + vź gdzie v o jest prędkością odbiornika ( + gdy odbiornik się zbliża do źródła, - gdy się oddala), v z jest prędkością źródła ( - gdy źródło się zbliża do odbiornika, + gdy się oddala). 9

10 Rysunek 6: Fala stojąca na strunie o długości l. Linia czerwona i niebieska przedstawiają położenie cząsteczek w chwilach odległych w czasie o T. Cząsteczki w punktach S (strzałki) drgają z maksymalną amplitudą, a cząsteczki w punktach W (węzły) mają amplitudę równą zero, czyli pozostają w spoczynku.λ oznacza długość fali biegnącej Natężenie fali Natężenie fali jest to średnia wartość energii przenoszonej przez falę w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni. W przypadku fali płaskiej natężenie fali nie zależy od odległości od źródła, natomiast dla fal wytworzonych przez punktowe źródło (fale kuliste), zależność natężenia od odległości r źródła wyraża wzór: I(r) = P 4πr, (45) gdzie P jest mocą źródła. Zauważmy, że dla źródła punkktowego zgonie z 45, ilość energii przechodzącej przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu maleje wraz z odległością od źródła (I 1 ). Energia jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy, więc A 1 r r. Wówczas funkcja falowa dla fal kulistych różni się od [36] i ma postać: ψ(z, t) = a cos(ωt kz + ϕ) (46) r Natężenie dźwięku oczywiście jest wielkością którą możemy ocenić za pomocą narządów słuchu. Ucho ludzkie działa jednak w taki sposób, że to, że jakiś dźwięk słyszymy dwa razy głośniej, w cale nie oznacza, że ten dźwięk ma dwa razy większego natężenie. Dlatego wprowadzono wielkość charakteryzującą dźwięk, której zmiany są proporcjonalne to tego, jak 10

11 ten dźwięk jest odbierany przez ludzki organizm. Tę wielkość nazywamy poziomem natężenia natężenia dźwięku i wyraża się wzorem : L = 10 log I I 0, (47) Gdzie I 0 jest natężeniem dźwięku, zwanym progiem słyszalności i wynosi 10 1 W m. 1.6 Fale elektromagnetyczne Fale elektromagnetyczne są to drgania pola elektrycznego i magnetyczne rozchodzące się w przestzeni. Drgania obu pól są zgodne w fazie, ale odbywają się w kierunkach prostopadłych do siebie i do kierunku propagacji fali, czyli są to fale poprzeczne. Opisując fale elktromagnetyczne zazwyczaj rozpatrujemy tylko zachowanie wektora pola elektrycznego, gdyż wektor indukcji magnetycznej pod wieloma względami zachowuje się identycznie. Z tego względu wektor pola elektrycznego nazywany jest wektorem świetlnym Polaryzacja fal elektromagnetycznych Polaryzacja fal jest to uporządkowanie drgań w konkretnym kierunku. Drgania ośrodka w przypadku fal podłużnych odbywają się zawsze w jednym kierunku - zgodnym z kierunkiem rozchodzenia się fali. Kierunek zaburzenia ośrodka fal poprzecznych jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali, a takich kierunków jest nieskończenie wiele. O polaryzacji możemy zatem mówić wyłącznie w przypadku fal poprzecznych. Najczęściej mamy do czynienia z polaryzacją fal elektromagnetycznych. Światło słoneczne lub światło ze zwykłej żarówki jest światłem niespolaryzowanym. To znaczy, że drgania wektora pola elektrycznego E odbywają się we wszystkich kierunkach. Istnieją różne sposoby polaryzacji, np: Za pomocą polaroidu - warstwy materiału, który przepuszcza wyłącznie światło spolaryzowane w jednym kierunku zwanym osią polaroidu, a reszta światła jest pochłaniana. Jeżeli światło spolaryzowane liniowo pada na polaroid, a kąt między płaszczyzną polaryzacji tego światła, a osią polaroidu wynosi γ, to natężenie światła wychodzącego z polaryzatora określa prawo Malusa: I(γ) = I 0 cos γ (48) 11

12 Poprzez odbicie - jeżeli światło pada na granicę ośrodków pod kątem zwanym kątem Brewstera odbiciu ulega tylko część światła spolaryzowanego prostopadle do płaszczyzny padania, pozostała część o takiej polaryzacji przechodzi do drugiego ośrodka. Światło spolaryzowane w płaszczyźnie padania w całości przechodzi przez granicę ośrodków. Korzystając z tego zjawiska tworzy się polaryzatory płytkowe. Są one zbudowane z szeregu płytek ustawionych pod kątem Brewstera do kierunku padania światła. Światło przechodząc przez kolejne granice ośrodów pomiędzy płytkami za każdym razem ulega odbiciu. Odbijane jest tylko światło spolaryzowane w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania, więc coraz mniejsza jego część przechodzi przez kolejne płytki. Światło spolaryzowane w płaszczyźnie padania przechodzi w całości przez wszystkie płytki. Po przejściu przez odpowiednią liczbę płytek, natężenia światła spolaryzowanego w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania jest znikome. Za pomocą polaryzatora płytkowego otrzymujemy więc światło spolaryzowane w kierunku płaszczyzy padania. Rysunek 7: Polaryzacja poprzez odbicie pod kątem Brewstera Zadania 1. Obliczyć częstość drgań ciężarka o masie m, zawieszonego na nieważkich sprężynach w sposób pokazany na rysunkach (1a,1b). Masy elementów łączących sprężyny pomijamy. Współczynniki sprężystości sprężyn wynoszą odpowiednio k 1, k i k 3. 1

13 Rysunek 8: Rysunek do zadania nr 1. Dwie kulki o jednakowych masach m zawieszono na dwóch niciach o długościach l 1 i l. Nici umocowano w taki sposób, że kulki wisząc na tym samym poziomie stykają się ze sobą. Kulkę wiszącą na nici o długości l 1 odchylono o mały kąt (<5 ) i puszczono swobodnie tak, że zderzyła się ona doskonale sprężyście z drugą kulką. Po jakim czasie nastąpi n -te zderzenie? Rysunek 9: Rysunek do zadania nr 3. Masie m, zawieszonej na wahadle matematycznym o długości l, nadano prędkość kątową Θ, taką, że amplituda nie przekroczyła 5. Znaleźć zależność wychylenia, prędkości i przyspieszenia masy m od czasu. Narysuj wykres zależności wychylenia i kinetycznej energii od czasu. Założyć brak oporu ośrodka. 4. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne. W odległościach x 1 i x od 13

14 położenia równowagi jej prędkości wynoszą v 1 i v. Znaleźć amplitudę i częstość drgań cząstki. 5. Wahadło matematyczne na Ziemi wykonuje drgania z dekrementem logarytmicznym. Na planecie X logarytmiczny dekrement tłumienia drgań tego wahadła wynosi. Znaleźć przyspieszenie grawitacyjne planety X wiedząc, że współczynnik tłumienia jest taki sam jak na Ziemi. 6. Wahadło matematyczne na planecie X wykonuje drgania z dekrementem logarytmicznym. Jaki będzie logarytmiczny dekrement tłumienia drgań tego wahadła na Ziemi, jeżeli wiemy, że opór atmosfery ziemskiej jest n razy większy niż na planecie X, a przyspieszenie grawitacyjne planety X jest m razy większe. 7. Ile razy zmniejszy się energia całkowita drgań wahadła sekundowego po upływie t=5 min, jeżeli logarytmiczny dekrement tłumienia =0,031? Wahadło sekundowe ma okres drgań T=s). 8. Ruch wahadła sferycznego jest wynikiem superpozycji dwóch ruchów harmonicznych zachodzących wzdłuż prostych prostopadłych według równań: x(t) = a sin(ωt) i y(t) = b sin(ωt + π ). Znaleźć i wykreślić równanie toru ruchu wahadła (zawieszonej masy) y(x) oraz prędkość w chwili t. 9. Ruch cząstki jest superpozycją dwóch ruchów harmonicznych. Okresy drgań wynoszą T 1 i T. Wyznaczyć okres drgań wypadkowych i okres dudnień. 10. Ze złożenia dwóch drgań harmonicznych zachodzących wzdłuż jednego kierunku otrzymano równanie ruchu cząstki w postaci x(t) = a cos(αt) cos(βt), gdzie α > β. Znaleźć kołowe częstości drgań składowych, okres dudnień drgania wypadkowego oraz prędkość cząstki w chwili, kiedy amplituda drgania wypadkowego wynosi zero. 11. Nieważką sprężynę podzielono na dwie, tak, że jedna jest n razy dłuższa od drugiej. Następnie między sprężynami zamocowano ciało a końce sprężyn zamocowano do przeciwległych ścian. Obliczyć okres drgań ciała odchylonego od położenia równowagi w kierunku poziomym, jeśli wiadomo, że ciało zamocowane do krótszej sprężyny wykonuje drgania o częstotliwości f. Założyć brak tarcia. 14

15 1. Na dwóch sprężynach o stałej sprężystości k połączonych szeregowo zaczepiono masę M. Masa i sprężyna znajdują się w ośrodku o współczynniku oporu b (b < 4Mk). W chwili t=0 odchylono masę od położenia równowagi o odległość A i puszczono swobodnie. Znaleźć zależność wychylenia i prędkości masy M od czasu. Narysuj wykres zależności wychylenia i całkowitej energii mechanicznej od czasu. 13. Pralka przemysłowa umieszczona w przyczepie kempingowej powoduje ugięcie podłogi o x. Przy jakiej częstotliwości obrotów pralki powstanie niebezpieczeństwo rezonansu i zniszczenia przyczepy, jeżeli współczynnik tłumienia drgań w takim układzie wynosi γ. Przyjąć, że masa pralki jest znacznie większa od masy podłogi. g ω r = x Γ (49) 14. Obliczyć średnią energię kinetyczną, średnią energię potencjalną siły sprężystości oraz średnią energię całkowitą ciała o masie m wykonującego stacjonarne drgania wymuszone o równaniu x(t) = A cos(ωt + ϕ). Częstość drgań własnych wynosi ω Struna o masie m, zamocowana na obu końcach, drga z częstotliwością równą drugiej harmonicznej, przy której maksymalne wychylenia struny wynosi A. Znaleźć średnią energię kinetyczną struny. 16. W pręcie o długości L, złożonym ze stopu o składzie zmieniającym się wraz z długością, rozchodzi się fala podłużna. Na jednym końcu pręt ma gęstość ρ 1 i moduł Younga E 1, a na drugim ρ i E. Moduł Younga zmienia się liniowo, natomiast gęstość rośnie proporcjonalnie do kwadratu długości. Oblicz prędkość fali w punkcie x = L 4. Oblicz czas, w którym fala przebędzie całą długość pręta, w przypadku, gdy gęstość jest stała i wynosi ρ. 17. Nietoperz przelatując z prędkością v n z jednego drzewa na drugie, wysyła jednocześnie sygnał ultradźwiękowy do przodu i do tyłu o częstotliwości ν 0. Obliczyć częstość sygnału odbieranego przez nietoperza i częstość dudnień. 18. Na osi x znajduje się odbiornik i źródło dźwięku o częstotliwości f 0. Źródło porusza się ruchem harmonicznym wzdłuż osi x z częstością kołową ω i amplitudą a. Przy jakiej wartości ω szerokość przedziału częstotliwości rejestrowanego przez odbiornik będzie równa δ f. Prędkość dźwięku wynosi v d. 15

16 19. Punktowe źródło dźwięku znajduje się na prostej prostopadłej do powierzchni ograniczonej przez okrąg o promieniu R oraz jego średnicę i przechodzącej przez jego środek O. Odległość między środkiem okręgu, a źródłem wynosi l. Znaleźć wartość strumienia energii przechodzącej przez tę powierzchnię, jeżeli w punkcie O natężenie fali wynosi I W układzie złożonym z soczewki płasko-wypukłej, stykającej się stroną wypukłą z płytką szklaną, można obserwować prążki interferencyjne w kształcie koncentrycznych okręgów zwanych pierścieniami Newtona. Wyznaczyć promień n-tego ciemnego i n-tego jasnego pierścienia obserwowanych w świetle przechodzącym i odbitym prostopadle do płaszczyzny płytki. 1. Obliczyć grubość warstwy przeciwodblaskowej, z materiału o współczynniku załamania n na krzemie o współczynniku załamania n Si dla światła o długości fali λ. Rozpatrzyć przypadek prostopadłego padania światła oraz określić długości fal, dla których warstwa ta będzie odblaskowa.. Polaryzator płytkowy składa się ze stosu k- płytek ustawionych pod kątem Brewstera do kierunku wiązki światła. Określić najmniejszą liczbę płytek niezbędną do tego, aby światło, przechodząc przez nie, zostało w P=90% spolaryzowane. Przyjąć, że przy każdym odbiciu od powierzchni płytek z wiązki światła przechodzącego ubywa p=8% światła spolaryzowanego i pominąć pochłanianie. 3. Równoległą wiązkę światła słonecznego skierowano na układ trzech polaryzatorów, w którym kierunek polaryzacji pierwszego polaryzatora jest prostopadły do kierunku polaryzatora ostatniego i tworzy kąt z kierunkiem drugiego równy =30. Znaleźć zmianę natężenia światła przy przejściu przez taki układ polaryzatorów. Pominąć straty energii związane z odbiciami i pochłanianiem. Przy jakim ustawieniu środkowego polaryzatora układ ten może przepuścić najwięcej światła. 4. Znaleźć grubość ćwierćfalówki z materiału o zwyczajnym współczynniku załamania 1,66 i nadzwyczajnym 1,49 dla światła o długości 500 nm. Określić warunki polaryzacji eliptycznej i kołowej. 5. Światło naturalne pada na układ złożony z trzech ustawionych kolejno polaroidów, przy czym oś główna środkowego polaroidu tworzy kąt =60 z osiami dwóch pozostałych polaroidów. Współczynnik 16

17 przepuszczania liniowo spolaryzowanego światła jest dla każdego z tych polaroidów równy t=0,81. Ile razy zmniejszy się natężenie światła po przejściu przez ten układ? 6. Siatka dyfrakcyjna jest oświetlona prostopadle wiązką światła białego. Czy widzialne widmo trzeciego rzędu może zachodzić na widmo rzędu czwartego? Zakres długości fal widzialnego widma światła białego przyjąć 4000nm 7000nm. 3 Rozwiązania do zadań 1. Częstość drgań w takim układzie wyraża się wzorem k ω = m (50) Należy więc znaleźć zastępczy współczynnik sprężystości układu sprężyn. Zgodnie z prawem Hooke a, wartość siły odkształcającej sprężynę (tu układ sprężyn) ma wartość, gdzie x jest odkształceniem sprężyny. a. F = kx (51) Z I zasady dynamiki Newtona wynika, że w momencie, gdy sprężyna jest odkształcona przez siłę F (masa m się nie porusza), siła F jest równoważona przez sumę sił sprężystości poszczególnych sprężyn, zatem: F = F 1 + F + F 3 (5) Ponieważ każda sprężyna zostaje odkształcona o tę samą wartość x, możemy zapisać: kx = k 1 x + k x + k 3 x (53) k = k 1 + k + k 3 (54) W łączeniu równoległym sprężyn, zasępczy współczynnik sprężystości układu sprężyn jest zatem sumą wsp. spr. poszczególnych sprężyn. k1 +k +k3 Odp. ω = m 17

18 b. Każda sprężyna jest odkształcana taką samą siłą F, zatem F = F 1 = F = F 3. kx = k 1 x 1 = k x = k 3 x 3 (55) Całkowite odkształcenie x jest sumą odkształceń poszczególnych sprężyn: Z powyższych równań otrzymujemy: x = x 1 + x + x 3 (56) 1 k = (57) k 1 k k 3 Częstość drgań wynosi zatem ω = c. k 1 k k 3 (k 1 +k +k 3 )m Współczynnik sprężystości układu dwóch sprężyn połączonych równolegle wynosi: k 3 = k + k 3 (58) Układ odpowiada więc szeregowemu połączeniu sprężyn o współczynnikach k 3 i k 1, czyli zastępczy wsp. spr. układu obliczamy ze wzoru: Częstość drgań: ω = k 1 k 3 (k 1 +k 3 )m 1 k = 1 k k 3 (59). Okresy wahadeł wynoszą T 1 = π l 1 /g i T = π l /g. Gdy pierwsza kulka zastała puszczona, do momentu zderzenia przebyła drogę równą 1 4 drogi odpowiadającej pełnej oscylacji. Ponieważ zderzenia kulek są doskonale sprężyste, na podstawie zasad zachowania pędu i energii można wykazać, że w momencie zderzenia kulka o niezerowej prędkości przekazuje cały swój pęd drugiej kulce, czyli sama się zatrzymuje. Następnie kulka druga wykonuje pół pełnego drgania i znów zderza się z pierwszą kulką będącą w spoczynku, przekazując jej cały swój pęd. N-te zderzenie nastąpi po czasie t = 1 4 T 1 + n 4 T 1 + n 4 T (60) 18

19 dla parzystej liczby zderzeń i dla nieparzystej liczby zderzeń. t = 1 4 T 1 + n 1 4 T 1 + n 1 4 T (61) 3. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że wypadkowa siła działająca na ciało o masie m wynosi F = ma, gdzie a to przyspieszenie tego ciała. Przyspieszenie masy m jest drugą pochodną wychylenia x(t) z położenia równowagi po czasie: a = d x(t) dt (6) Z rysunku wynika, że wypadkowa siła, zwana siłą kierującą ma wartość F = mg sin ϕ(t). Ponieważ kąt ϕ jest bardzo mały, można zastosować przybliżenie: sin ϕ(t) = ϕ(t). Podstawiając wyrażenia na siłę, przyspieszenie i ϕ(t) = x(t) l Oznaczamy ω 0 = g l., otrzymujemy równanie: m d x(t) dt = mg x(t) l (63) d x(t) dt + ω 0x(t) = 0 (64) Jest to równanie oscylatora harmonicznego prostego. Jest to jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Rozwiązanie ogólne równania tego typu jest kombinacją liniową dwóch (ta liczba odpowiada rzędowi równania) liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych. Rozwiązaniem szczególnym nazywamy dowolną funkcję spełniającą to równanie. Takich funkcji jest nieskończenie wiele, ale tylko jedna odpowiada zadanym warunkom początkowym. Aby rozwiązać takie równanie, należy rozwiązać równanie charakterystyczne powyższego równania różniczkowego. Równanie charakterystyczne otrzymamy podstawiając do równania różniczkowego jedno z jego rozwiązań postaci x i (t) = e αt. Łatwo się domyślić, że funkcja wykładnicza musi spełniać równanie różniczkowe, w którym suma wielokrotności tej funkcji oraz wielokrotności jej drugiej pochodnej musi dać zero (wynika to z faktu, iż kolejne pochodne funkcji wykładniczej są właśnie jej wielokrotnościami). Po podstawieniu otrzymamy: 19

20 α e αt + ω 0 eαt = 0 (65) czyli: α + ω 0 = 0 (66) Jest to równanie kwadratowe, dla którego δ < 0, zatem jego pierwiastki są liczbami zespolonymi: α 1 = iω 0 α = iω 0 (67) Otrzymaliśmy zatem dwie wartości α, co nam daje dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne: x 1 (t) = e iω 0t x (t) = e iω 0t (68) Rozwiązanie ogólne równania 64, jako kombinacja liniowa x 1 (t) i x (t) ma postać: x(t) = C 1 e iω 0t + C e iω 0t (69) gdzie C 1 i C są dowolnymi stałymi. Korzystając ze wzorów Eulera: e iω0t = cos ω 0 t + i sin ω 0 te iω0t = cos ω 0 t i sin ω 0 t (70) Otrzymamy rozwiązanie ogólne w postaci trygonometrycznej: x(t) = B 1 cos ω 0 t + B sin ω 0 t (71) gdzie B 1 = C 1 + C i B = C 1 ic Zależność prędkości od czasu jest więc pierwszą pochodną po czasie funkcji x(t): v(t) = dx(t) = B 1 ω 0 sin ω 0 t + B ω 0 cos ω 0 t (7) dt Do rozwiązania ogólnego podstawiamy warunki początkowe określone w zadaniu (wychylenie i prędkość w chwili t = 0), aby wyznaczyć stałe B 1 i B : 0

21 x(0) = 0 (73) v(0) = lθ (74) i otrzymujemy : x(0) = B 1 cos ω B sin ω 0 0 = B 1 = 0 (75) v(0) = B 1 ω 0 sin ω B ω 0 cos ω 0 0 = B ω 0 = lθ (76) Rozwiązanie szczególne równania 64, czyli zależność wychylenia masy m z położenia równowagi ma postać: Wykres!! x(t) = lθ ω 0 sin ω 0 t (77) Prędkość i przyspieszenie są opisane funkcjami: v(t) = lθ cos ω 0 ta(t) = lθω 0 sin ω 0 t (78) Zależność wartości energii kinetycznej oscylatora od czasu opisuje funkcja: WYKRES!! E k (t) = mv = ml θ cos ω 0 t (79) 4. Cząstka wykonuje drgania harmoniczne, więc jej wychylenie z położenia równowagi opisuje funkcja x(t) = A cos ω 0 t + ϕ, a prędkość funkcja v(t) = Aω 0 sin ω 0 t + ϕ. Otrzymujemy więc układ czterech równań dla wychyleń i prędkości w chwilach t 1 i t : x 1 = A cos ω 0 t 1 + ϕx = A cos ω 0 t + ϕ (80) v 1 = Aω 0 sin ω 0 t 1 + ϕv = Aω 0 sin ω 0 t + ϕ (81) 1

22 Korzystając z jedynki trygonometrycznej, otrzymamy: więc: 5. Odp. x 1 A + v 1 A ω 0 A = = 1 x A + v A ω 0 v 1 x v x 1 v 1 ω 0 = v 1 v v x x 1 = 1 (8) (83) g x = 4π + Λ x Λ 4π + Λ g (84) Λ x 6. Odp. 4π mn Λ x Λ z = 4π + (1 mn )Λ x 7. Odp. Energia się zmniejszy e Λ T t razy. 8. Odp. x (85) a + y b = 1 (86) Torem ruchu jest zatem elipsa. 9. Odp. 10. Odp. T w = T 1T T 1 + T T d = T 1T T 1 T (87) ω 1 = α + β (88) ω = α β (89) T d = π (90) β v(t) = π (91) β 11. Z drugiej zasady dynamiki: ma(t) = k 1 x(t) k x(t) (9) d x(t) dt + (k 1 + k )x(t) = 0 (93) powyższe równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego o częstości kołowej drgań ω:

23 ω = k 1 + k m Współczynnik sprężystości krótszej sprężyny wynosi k 1 = 4π f m. (94) Dłuższa sprężyna ma współczynnik sprężystości k = k 1 n (patrz rozwiązanie zadania 1.). Ponieważ ω = π T, to okres drgań wynosi: T = f n + 1 n 1. Sprężyny zostały połączone szeregowo, zatem (patrz zadanie 1) zastępczy współczynnik sprężystości układu wynosi: (95) K = k (96) Z drugiej zasady dynamiki Newtona F = Ma, gdzie F to siła wypadkowa dzialająca na ciało, a to przyspieszenie ciała. Przyspieszenie masy M jest drugą pochodną wychylenia x(t) z położenia równowagi po czasie: a(t) = d x(t) dt (97) Jak widać na rysunku siła wypadkowa jest sumą siły sprężystości i siły oporu: Oznaczamy ω 0 = Ma(t) = M k bv(t) (98) k M i Γ = b m 3

24 d x(t) dt + Γ dx(t) + ω dt 0x(t) = 0 (99) Jest to równanie oscylatora harmonicznego tłumionego. Jest to jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.rozwiązujemy je tą samą metodą, co w przypadku równaia oscylatora harmonicznego prostego czyli tworzymy równianie charakterystyczne: α + Γα + ω 0 = 0 (100) δ = Γ 4ω 0 (101) Jak widać, zależnie od wartości stałych Γ i ω 0 możemy otrzymać δ < 0, δ = 0 lub δ > 0. Wszystkie trzy przypadki należy rozważyć osobno, Jednak w treści zadania podano warunek (b < 4Mk), który jest równoważny z Γ < 4ω.W takim przypadku δ < 0 i mamy dwa 0 rozwiązania równiania 101. α 1 = Γ + i ω 0 Γ 4 α = Γ i ω 0 Γ 4 (10) Stosujemy podstawienie ω = ω 0 Γ 4, gdzie ω jest częstością kołową drgań tłumionych. Rozwiązanie ogólne równania 99 ma zatem postać: gdzie C 1 i C są dowolnymi stałymi. x(t) = e Γ [C1 e iωt + C e iωt ] (103) Korzystając ze wzorów Eulera otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci trygonometrycznej: gdzie B 1 = C 1 + C i B = C 1 ic x(t) = e Γ [B1 cos ω 0 t + B sin ω 0 t] (104) Zależność prędkości od czasu jest pierwszą pochodną po czasie funkcji x(t): v(t) = dx(t) dt = B 1 ω 0 sin ω 0 t + B ω 0 cos ω 0 t (105) Aby wyznaczyć stałe B 1 i B, wprowadzamy warunki początkowe: 4

25 x(0) = A (106) v(0) = 0 (107) i otrzymujemy : x(0) = B 1 cos ω B sin ω 0 0 = B 1 = 0 (108) v(0) = B 1 ω 0 sin ω B ω 0 cos ω 0 0 = B ω 0 = lθ (109) Rozwiązanie szczególne równania 64, czyli zależność wychylenia masy m z położenia równowagi ma postać: x(t) = lθ ω 0 sin ω 0 t (110) Prędkość i przyspieszenie są opisane funkcjami: 13. v(t) = lθ cos ω 0 ta(t) = lθω 0 sin ω 0 t (111) Zależność wartości energii kinetycznej oscylatora od czasu opisuje funkcja: E k (t) = mv = ml θ cos ω 0 t g ω r = x Γ 14. Zależność wychylenia ciała od czasu wynosi x(t) = Acos(ωt + ϕ). (11) (113) Średnią energię potencjalną drgań wyznaczamy z definicji wartości średniej: Ē p = 1 Ē p = t+t t t+t t 1 kx (t)dt t+t t dt mω 0 A cos (ωt + ϕ)(t)dt T (114) (115) 5

26 Ē p = mω 0 A 4 Podobnie wyznaczamy średnią wartość energii kinetycznej: t+t 1 t Ē k = mv (t)dt t+t dt t Prędkość v(t) obliczny jako pochodną x(t) po czasie: (116) (117) v(t) = Aω sin(ωt + ϕ) (118) zatem: Ē k = mω A 4 (119) Srednia wartość calkowitej energii jest równa sumie średniej energii kinetycznej i średniej energii potencjalnej: Ē = m(ω 0 + ω )A 4 (10) 6

Podstawy fizyki wykład 7

Podstawy fizyki wykład 7 Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale

Bardziej szczegółowo

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające

Bardziej szczegółowo

Rodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów

Rodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu

Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Ruch falowy Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Fala rozchodzi się w przestrzeni niosąc ze sobą energię, ale niekoniecznie musi

Bardziej szczegółowo

Fale mechaniczne i akustyka

Fale mechaniczne i akustyka Fale mechaniczne i akustyka Wstęp: siła jako element decydujący o rodzaju ruchu Na pierwszym wykładzie, dynamiki Newtona omawiając II zasadę dr d r F r,, t = m dt dt powiedzieliśmy, że o tym, jakim ruchem

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony

Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrównawcze z izyki -Zestaw 13 -eoria Drgania i ale. Ruch drgający harmoniczny, równanie ali płaskiej, eekt Dopplera, ale stojące. Siła harmoniczna, ruch drgający harmoniczny Siłą harmoniczną (sprężystości)

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:

Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące: Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni Dla próżni równania Maxwella w tzw postaci różniczkowej są następujące:, gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a i

Bardziej szczegółowo

RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin

RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika

Bardziej szczegółowo

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE

Bardziej szczegółowo

2.6.3 Interferencja fal.

2.6.3 Interferencja fal. RUCH FALOWY 1.6.3 Interferencja fal. Pojęcie interferencja odnosi się do fizycznych efektów nie zakłóconego nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Doświadczenie uczy, że fale mogą przebiegać

Bardziej szczegółowo

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz

Bardziej szczegółowo

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych.

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. 5. Fale mechaniczne 5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. Ruch falowy jest zjawiskiem bardzo rozpowszechnionym w przyrodzie. Spotkałeś się z pewnością w życiu codziennym z takimi pojęciami

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana

Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale

Bardziej szczegółowo

Drgania. O. Harmoniczny

Drgania. O. Harmoniczny Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza

Bardziej szczegółowo

Fizyka elektryczność i magnetyzm

Fizyka elektryczność i magnetyzm Fizyka elektryczność i magnetyzm W5 5. Wybrane zagadnienia z optyki 5.1. Światło jako część widma fal elektromagnetycznych. Fale elektromagnetyczne, które współczesny człowiek potrafi wytwarzać, i wykorzystywać

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające

Bardziej szczegółowo

Zjawisko interferencji fal

Zjawisko interferencji fal Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE W MEDYCYNIE

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE W MEDYCYNIE LASERY I ICH ZASTOSOWANIE W MEDYCYNIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Temat: Modulacja światła laserowego: efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą

Bardziej szczegółowo

Ψ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t)

Ψ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t) RUCH FALOWY 1 Fale sejsmiczne Fale morskie Kamerton Interferencja RÓWNANIE FALI Fala rozchodzenie się zaburzeń w ośrodku materialnym lub próżni: fale podłużne i poprzeczne w ciałach stałych, fale podłużne

Bardziej szczegółowo

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Drgania i fale II rok Fizyk BC 00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku.

Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku. Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku. Definicje: promień fali kierunek rozchodzenia się fali powierzchnia falowa powierzchnia,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

Zjawisko interferencji fal

Zjawisko interferencji fal Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natężenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi

falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

Zasady oceniania karta pracy

Zasady oceniania karta pracy Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.

Bardziej szczegółowo

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku,

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

VII. Drgania układów nieliniowych

VII. Drgania układów nieliniowych VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku

Bardziej szczegółowo

1 Wymagania egzaminacyjne na egzamin maturalny - poziom rozszerzony: fizyka

1 Wymagania egzaminacyjne na egzamin maturalny - poziom rozszerzony: fizyka 1 Drgania i fale 1 Wymagania egzaminacyjne na egzamin maturalny - poziom rozszerzony: fizyka 2005-2006 Drgania i fale Standard 1. Posługiwanie się wielkościami i pojęciami fizycznymi do opisywania zjawisk

Bardziej szczegółowo

Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera.

Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera. W-1 (Jaroszewicz) 14 slajdów Podstawy Akustyki Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: prędkość grupowa, dyspersja fal, superpozycja Fouriera, paczka falowa Fale akustyczne w powietrzu

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

OPTYKA FALOWA. W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę

OPTYKA FALOWA. W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę OPTYKA FALOWA W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę falową. W roku 8 Thomas Young wykonał doświadczenie, które pozwoliło wyznaczyć długość fali światła.

Bardziej szczegółowo

1. Jeśli częstotliwość drgań ciała wynosi 10 Hz, to jego okres jest równy: 20 s, 10 s, 5 s, 0,1 s.

1. Jeśli częstotliwość drgań ciała wynosi 10 Hz, to jego okres jest równy: 20 s, 10 s, 5 s, 0,1 s. 1. Jeśli częstotliwość drgań ciała wynosi 10 Hz, to jego okres jest równy: 20 s, 10 s, 5 s, 0,1 s. 2. Dwie kulki, zawieszone na niciach o jednakowej długości, wychylono o niewielkie kąty tak, jak pokazuje

Bardziej szczegółowo

4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)

4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)185 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu

Bardziej szczegółowo

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

Drgania wymuszone - wahadło Pohla Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL

ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL ZADANIE 111 DOŚWIADCZENIE YOUNGA Z UŻYCIEM MIKROFAL X L Rys. 1 Schemat układu doświadczalnego. Fala elektromagnetyczna (światło, mikrofale) po przejściu przez dwie blisko położone (odległe o d) szczeliny

Bardziej szczegółowo

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADY RUCHU HARMONICZNEGO. = kx

PRZYKŁADY RUCHU HARMONICZNEGO. = kx RUCH HARMONICZNY; FALE PRZYKŁADY RUCHU HARMONICZNEGO F d k F s k Gdowski F k Każdy ruch w którym siła starająca się przywrócić położenie równowagi jest proporcjonalna do wychylenia od stanu równowagi jest

Bardziej szczegółowo

Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m

Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca

Bardziej szczegółowo

FALE W OŚRODKACH SPRĘZYSTYCH

FALE W OŚRODKACH SPRĘZYSTYCH ALE W OŚRODKACH SPRĘZYSTYCH PRZYKŁADY RUCHU ALOWEGO Zjawisko rozchodzenia się fal spotykamy powszechnie. Przykładami są fale na wodzie, fale dźwiękowe, poruszający się front przewracających się kostek

Bardziej szczegółowo

Wykład 17: Optyka falowa cz.2.

Wykład 17: Optyka falowa cz.2. Wykład 17: Optyka falowa cz.2. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Interferencja w cienkich warstwach Załamanie

Bardziej szczegółowo

Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska

Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Podstawy fizyki Wykład 11 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 3, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 2003. K.Sierański, K.Jezierski,

Bardziej szczegółowo

Zjawisko interferencji fal

Zjawisko interferencji fal Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

2. Rodzaje fal. Fale te mogą rozchodzić się tylko w jakimś ośrodku materialnym i podlegają prawom Newtona.

2. Rodzaje fal. Fale te mogą rozchodzić się tylko w jakimś ośrodku materialnym i podlegają prawom Newtona. . Rodzaje fal Wykład 9 Fale mechaniczne, których przykładem są fale wzbudzone w długiej sprężynie, fale akustyczne, fale na wodzie. Fale te mogą rozchodzić się tylko w jakimś ośrodku materialnym i podlegają

Bardziej szczegółowo

Siła sprężystości - przypomnienie

Siła sprężystości - przypomnienie Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni

Bardziej szczegółowo

Światło jako fala Fala elektromagnetyczna widmo promieniowania Czułość oka ludzkiego w zakresie widzialnym

Światło jako fala Fala elektromagnetyczna widmo promieniowania Czułość oka ludzkiego w zakresie widzialnym Światło jako fala Fala elektromagnetyczna widmo promieniowania ν = c λ Czułość oka ludzkiego w zakresie widzialnym Wytwarzanie fali elektromagnetycznej o częstościach radiowych E(x, t) = Em sin (kx ωt)

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Widmo fal elektromagnetycznych

Widmo fal elektromagnetycznych Czym są fale elektromagnetyczne? Widmo fal elektromagnetycznych dr inż. Romuald Kędzierski Podstawowe pojęcia związane z falami - przypomnienie pole falowe część przestrzeni objęta w danej chwili falą

Bardziej szczegółowo

Rys Ruch harmoniczny jako rzut ruchu po okręgu

Rys Ruch harmoniczny jako rzut ruchu po okręgu 3. DRGANIA I FALE 3.1. Ruch harmoniczny W szkole poznajemy ruch harmoniczny w trakcie analizy ruchu jednostajnego po okręgu jako rzut na prostą (rys. 3.1). Tak jest w istocie, poniewaŝ ruch po okręgu to

Bardziej szczegółowo

TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016

TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze.................

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

gęstością prawdopodobieństwa

gęstością prawdopodobieństwa Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)

Bardziej szczegółowo

1. Po upływie jakiego czasu ciało drgające ruchem harmonicznym o okresie T = 8 s przebędzie drogę równą: a) całej amplitudzie b) czterem amplitudom?

1. Po upływie jakiego czasu ciało drgające ruchem harmonicznym o okresie T = 8 s przebędzie drogę równą: a) całej amplitudzie b) czterem amplitudom? 1. Po upływie jakiego czasu ciało drgające ruchem harmonicznym o okresie T = 8 s przebędzie drogę równą: a) całej amplitudzie b) czterem amplitudom? 2. Ciało wykonujące drgania harmoniczne o amplitudzie

Bardziej szczegółowo

a, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna

a, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna Włodzimierz Wolczyński 3 RUCH DRGAJĄCY. CZĘŚĆ 1 wychylenie sin prędkość cos cos przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości sin sin 4 3 1 - x. v ; a ; F v -1,5T,5 T,75 T T 8t x -3-4 a, F energia

Bardziej szczegółowo

Fizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 20, 21 i 22 Przygotowanie: Grzegorz Brona,

Fizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 20, 21 i 22 Przygotowanie: Grzegorz Brona, Fizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 0, 1 i Przygotowanie: Grzegorz Brona, 0.1.008 Seria 0 Zadanie 1 Punkt Q porusza się w płaszczyźnie XOY po okręgu o promieniu A ze stałą prędkością kątową ω.

Bardziej szczegółowo

Natura światła. W XVII wieku ścierały się dwa, poglądy na temat natury światła. Isaac Newton

Natura światła. W XVII wieku ścierały się dwa, poglądy na temat natury światła. Isaac Newton Natura światła W XVII wieku ścierały się dwa, poglądy na temat natury światła. Isaac Newton W swojej pracy naukowej najpierw zajmował się optyką. Pierwsze sukcesy odniósł właśnie w optyce, konstruując

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Drania i fale. Przykład drgań. Drgająca linijka, ciało zawieszone na sprężynie, wahadło matematyczne.

Drania i fale. Przykład drgań. Drgająca linijka, ciało zawieszone na sprężynie, wahadło matematyczne. Drania i fale 1. Drgania W ruchu drgającym ciało wychyla się okresowo w jedną i w drugą stronę od położenia równowagi (cykliczna zmiana). W położeniu równowagi siły działające na ciało równoważą się. Przykład

Bardziej szczegółowo

Wydział EAIiE Kierunek: Elektrotechnika. Wykład 12: Fale. Przedmiot: Fizyka. RUCH FALOWY -cd. Wykład /2009, zima 1

Wydział EAIiE Kierunek: Elektrotechnika. Wykład 12: Fale. Przedmiot: Fizyka. RUCH FALOWY -cd. Wykład /2009, zima 1 RUCH FALOWY -cd Wykład 9 2008/2009, zima 1 Energia i moc (a) dla y=y m, E k =0, E p =0 (b) dla y=0 drgający element liny uzyskuje maksymalną energię kinetyczną i potencjalną sprężystości (jest maksymalnie

Bardziej szczegółowo

BADANIE INTERFERENCJI MIKROFAL PRZY UŻYCIU INTERFEROMETRU MICHELSONA

BADANIE INTERFERENCJI MIKROFAL PRZY UŻYCIU INTERFEROMETRU MICHELSONA ZDNIE 11 BDNIE INTERFERENCJI MIKROFL PRZY UŻYCIU INTERFEROMETRU MICHELSON 1. UKŁD DOŚWIDCZLNY nadajnik mikrofal odbiornik mikrofal 2 reflektory płytka półprzepuszczalna prowadnice do ustawienia reflektorów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 363. Polaryzacja światła sprawdzanie prawa Malusa. Początkowa wartość kąta 0..

Ćwiczenie 363. Polaryzacja światła sprawdzanie prawa Malusa. Początkowa wartość kąta 0.. Nazwisko... Data... Nr na liście... Imię... Wydział... Dzień tyg.... Godzina... Polaryzacja światła sprawdzanie prawa Malusa Początkowa wartość kąta 0.. 1 25 49 2 26 50 3 27 51 4 28 52 5 29 53 6 30 54

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

Prowadzący: Kamil Fedus pokój nr 569 lub 2.20 COK konsultacje: środy

Prowadzący: Kamil Fedus pokój nr 569 lub 2.20 COK konsultacje: środy Prowadzący: Kamil Fedus pokój nr 569 lub 2.20 COK konsultacje: środy 12 00-14 00 e-mail: kamil@fizyka.umk.pl Istotne informacje 20 spotkań (40 godzin lekcyjnych) wtorki (s. 22, 08:00-10:00), środy (s.

Bardziej szczegółowo

Fale elektromagnetyczne

Fale elektromagnetyczne Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................

Bardziej szczegółowo

36P5 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - V POZIOM PODSTAWOWY

36P5 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - V POZIOM PODSTAWOWY 36P5 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - V Drgania Fale Akustyka Optyka geometryczna POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

Moment pędu fali elektromagnetycznej

Moment pędu fali elektromagnetycznej napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VIII. Ruch falowy

Podstawy fizyki sezon 1 VIII. Ruch falowy Podstawy fizyki sezon 1 VIII. Ruch falowy Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Gdzie szukać fal? W potocznym

Bardziej szczegółowo

Wykład 17: Optyka falowa cz.1.

Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Mechaniki Technicznej

Laboratorium Mechaniki Technicznej Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22

Bardziej szczegółowo

- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa)

- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa) 37. Straty na histerezę. Sens fizyczny. Energia dostarczona do cewki ferromagnetykiem jest znacznie większa od energii otrzymanej. Energia ta jest tworzona w ferromagnetyku opisanym pętlą histerezy, stąd

Bardziej szczegółowo

WYZNACZENIE GĘSTOŚCI MATERIAŁU STRUNY

WYZNACZENIE GĘSTOŚCI MATERIAŁU STRUNY ĆWICZENIE 103 WYZNACZENIE GĘSTOŚCI MATERIAŁU STRUNY Cel ćwiczenia: Wyznaczenie gęstości materiału, z którego jest wykonana badana struna. Zagadnienia: definicja fali, parametry opisujące falę (położenie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej

Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej Ćwiczenie 12 (44) Wyznaczanie długości fali świetlnej przy pomocy siatki dyfrakcyjnej Wprowadzenie Światło widzialne jest to promieniowanie elektromagnetyczne (zaburzenie poła elektromagnetycznego rozchodzące

Bardziej szczegółowo

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez

Bardziej szczegółowo

Fale akustyczne. Jako lokalne zaburzenie gęstości lub ciśnienia w ośrodkach posiadających gęstość i sprężystość. ciśnienie atmosferyczne

Fale akustyczne. Jako lokalne zaburzenie gęstości lub ciśnienia w ośrodkach posiadających gęstość i sprężystość. ciśnienie atmosferyczne Fale akustyczne Jako lokalne zaburzenie gęstości lub ciśnienia w ośrodkach posiadających gęstość i sprężystość ciśnienie atmosferyczne Fale podłużne poprzeczne długość fali λ = v T T = 1/ f okres fali

Bardziej szczegółowo

Laboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 5. Modulator PLZT

Laboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 5. Modulator PLZT Laboratorium techniki laserowej Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 006 1.Wstęp Rozwój techniki optoelektronicznej spowodował poszukiwania nowych materiałów

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 2 8. Fale elektromagnetyczne

Podstawy fizyki sezon 2 8. Fale elektromagnetyczne Podstawy fizyki sezon 8. Fale elektromagnetyczne Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Przenoszenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 8

Podstawy fizyki wykład 8 Podstawy fizyki wykład 8 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Optyka geometryczna Polaryzacja Odbicie zwierciadła Załamanie soczewki Optyka falowa Interferencja Dyfrakcja światła D.

Bardziej szczegółowo

1 Płaska fala elektromagnetyczna

1 Płaska fala elektromagnetyczna 1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej

Bardziej szczegółowo

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.

Bardziej szczegółowo

Egzamin z fizyki Informatyka Stosowana

Egzamin z fizyki Informatyka Stosowana Egzamin z fizyki Informatyka Stosowana 1) Dwie kulki odległe od siebie o d=8m wystrzelono w tym samym momencie czasu z prędkościami v 1 =4m/s i v 2 =8m/s, jak pokazano na rysunku. v 1 8 m v 2 α a) kulka

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

Prawa optyki geometrycznej

Prawa optyki geometrycznej Optyka Podstawowe pojęcia Światłem nazywamy fale elektromagnetyczne, o długościach, na które reaguje oko ludzkie, tzn. 380-780 nm. O falowych własnościach światła świadczą takie zjawiska, jak ugięcie (dyfrakcja)

Bardziej szczegółowo

Problemy optyki falowej. Teoretyczne podstawy zjawisk dyfrakcji, interferencji i polaryzacji światła.

Problemy optyki falowej. Teoretyczne podstawy zjawisk dyfrakcji, interferencji i polaryzacji światła. . Teoretyczne podstawy zjawisk dyfrakcji, interferencji i polaryzacji światła. Rozwiązywanie zadań wykorzystujących poznane prawa I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 27 luty 2012 Dyfrakcja światła laserowego

Bardziej szczegółowo