POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI Kierunek: Specjalno± : Automatyka i Robotyka (AIR) Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Podatny manipulator planarny - budowa i sterowanie Compliant planar manipulator - design and control Autor: Michaª Kot Prowadz cy prac : dr in». Janusz Jakubiak, I-6 Ocena pracy: WROCŠAW 2012

2

3 Spis tre±ci 1 Wst p Manipulator równolegªy Manipulator redundantny Manipulator planarny Manipulator podatny Cele projektu Aspekt in»ynierski Aspekt badawczy Pierwowzór Ró»nice w stosunku do pierwowzoru Inne projekty wykorzystuj ce podobne rozwi zania Testowe modele manipulatora Prosta kinematyka manipulatora Odwrotna kinematyka manipulatora Struktura manipulatora docelowego Konstrukcja manipulatora Ograniczenia ruchu robota Kinematyka manipulatora Prosta kinematyka manipulatora Odwrotna kinematyka manipulatora Jakobian manipulatora Analiza statyczna Wywa»enie statyczne Dynamika manipulatora Wyznaczenie wymiarów manipulatora Obliczenie przestrzeni roboczej manipulatora Przestrze«robocza na bazie prostej kinematyki Przestrze«robocza na bazie odwrotnej kinematyki Obwiednia przestrzeni roboczej Wyznaczanie powierzchni przestrzeni roboczej Wyznaczenie wymiarów manipulatora na podstawie przestrzeni roboczej Wyznaczenie wymiarów próbnej wersji manipulatora Wyznaczenie wymiarów ostatecznej wersji manipulatora

4 2 SPIS TRE CI 6 Pomiar siªy Rozkªad siª Pomiar pr du silników Tensometry Ukªad pomiarowy Belki tensometryczne Testy Umieszczenie czujników na konstrukcji manipulatora Ukªad elektroniczny Mikrokontroler Programowanie mikrokontrolera Czujniki Komunikacja z PC Konwersja napi Silniki Sterowanie manipulatorem Bezpo±rednie sterowanie siª Kontrola interakcji Hybrydowanie sterowanie pr dko±ci /siª Algorytm sterowania A Jakobian manipulatora 49 Bibliograa 52

5 Rozdziaª 1 Wst p Z roku na rok ro±nie liczba robotów, które s w stanie zast pi czªowieka w mniej lub bardziej skomplikowanych czynno±ciach. Ponadto, coraz cz ±ciej spotyka si operacje, w których ludzie i roboty wspóªpracuj ze sob. Wi»e si to ze zwi kszonymi wymogami bezpiecze«stwa, poniewa» czªowiek ze wzgl du na delikatn budow jest nara»ony na mechaniczne uszkodzenia ciaªa. Jednym z rozwi za«zapewniaj cych bezinwazyjn prac robota jest wykorzystanie struktury równolegªej i redundantnej, co pozwala kontrolowa siªy, którymi robot oddziaªuje na otaczaj ce go obiekty. W zwi zku z tym pojawienie si czªowieka w poªo»eniu koliduj cym z trajektori ruchu robota nie spowoduje znacz cego wzrostu pojawiaj cych si siª, a co wi cej wymusi generacj nowej bezkolizyjnej ±cie»ki je±li to b dzie mo»liwe. W przypadku pojawienia si w przestrzeni roboczej maªych i lekkich obiektów robot jest w stanie je przesun u»ywaj c nieznacznie wi kszej siªy, podczas gdy ci»sze przeszkody prowadz do modykacji konguracji b d¹ te» caªej trasy manipulatora. Zastosowanie kontroli siªy w sterowniku manipulatora umo»liwia bezzwªoczne reagowanie na niespodziewane przeszkody, ale tak»e na celowe oddziaªywanie z zadan siª na otoczenie. Rozwi zanie to znajduje zastosowanie w operacjach, gdzie samo pozycjonowanie nie jest wystarczaj ce. Do takich sytuacji nale» przykªadowo: ˆ chwytanie obiektów mi kkich i kruchych, ˆ przesuwanie obiektów, ˆ rozci ganie obiektów, ˆ prasowanie, ˆ mycie okien. W niniejszej pracy magisterskiej podj ta zostanie próba zaprojektowania i skonstruowania takiego robota, który b dzie w stanie nieinwazyjnie koegzystowa z obiektami znajduj cymi si w jego otoczeniu. Struktura kinematyczna jest kluczowym aspektem budowania bezpiecznego modelu manipulatora, w zwi zku z tym warto przyjrze si kilku cechom, które taki robot powinien posiada. 1.1 Manipulator równolegªy Roboty o strukturach równolegªych deniuje si jako roboty, w których platforma ruchoma, tzn. sprz g efektora, jest poª czona z podstaw platform wi cej ni» jednym

6 4 1. Wst p ªa«cuchem kinematycznym, tworz c zamkni ty ªa«cuch kinematyczny [4]. Budowa taka ma szereg istotnych zalet w stosunku do konstrukcji konwencjonalnych osie nap dowe manipulatora mog by umieszczone przy jego podstawie, dzi ki czemu znacz co zredukowana jest masa cz ±ci ruchomej. Umo»liwia to precyzyjniejsze sterowanie, a tak»e uzyskiwanie wi kszych przyspiesze«ze wzgl du na zmniejszon bezwªadno±. Ponadto siªy zewn trzne dziaªaj ce na efektor nie s przenoszone przez szeregowy ªa«cuch elementów, lecz rozªo»one na równolegªe ramiona, co wpªywa na du» sztywno± struktury ukªadu. Stosunek masy do sztywno±ci ukªadu ulega znacz cej poprawie, co w sposób bezpo±redni przekªada si na dokªadno± pozycjonowania. Przy projektowaniu manipulatora d»ymy do minimalizacji jego masy, poniewa» ci»sze roboty wymagaj wi kszych nakªadów energetycznych przy poruszaniu si, a tak»e wykazuj gorsze parametry bezwªadno±ciowe. Z drugiej strony wi ksza masa sprzyja wi kszej sztywno±ci, co przekªada si na mniejsze ugi cia ogniw przy oddziaªywaniu zewn trznych siª. Ma to bezpo±redni wpªyw na dokªadno± pozycjonowania, poniewa» sztywniejszy ukªad oznacza mniejszy bª d przy przeciwdziaªaniu zewn trznej sile. Z drugiej strony wprowadzenie równolegªej struktury znacz co zwi ksza zªo»ono± równa«opisuj cych prost i odwrotn kinematyk, a tak»e dynamik robota. Ponadto, ograniczeniu ulega przestrze«robocza, która mo»e by du»o mniejsza ni» gabaryty manipulatora. W stosunku do manipulatorów szeregowych równolegªo± zwi ksza liczb konguracji osobliwych, które komplikuj sterowanie robotem i wymagaj stosowania odpowiednich ogranicze«. W strukturach równolegªych cz ±ciej wyst puj te» potencjalne kolizje pomi dzy ramionami, a efektorem robota, co nale»y uwzgl dni przy deniowaniu dopuszczalnego zakresu ruchu. Najcz ±ciej spotyka si roboty równolegªe o trzech lub nawet sze±ciu ramionach [4]. Mimo du»ej liczby nap dów uzyskuje si w nich do± niewielk liczb stopni swobody. Ich najwi ksz zalet jest to,»e silniki i przekªadnie s zamocowane na nieruchomej podstawie (co wi cej poza przestrzeni robocz ), przez co nie obci»aj czªonów ruchomych i nie pogarszaj w ten sposób wªa±ciwo±ci dynamicznych robota. 1.2 Manipulator redundantny Manipulator redundantny (nadmiarowy) skªada si z wi kszej liczby przegubów ni» jest ona wymagana do wykonania konkretnego zadania. Cecha ta zapewnia to robotowi wi ksz zr czno±, która pozwala na skuteczne omijanie osobliwo±ci, ogranicze«przegubów czy przeszkód pojawiaj cych si w przestrzeni roboczej [1]. Wpªywa to korzystnie na rozmiar samej przestrzeni roboczej, poniewa» liczba osi galnych konguracji ulega zwi kszeniu. Co wi cej, zdolno± realizacji pojedynczej konguracji na wiele sposobów umo»liwia stosowanie optymalizacji dla tego samego poªo»enia w przestrzeni zewn trznej w oparciu o przyj te kryteria. Pojedyncze konguracje skªadaj si na caªe trajektorie, w zwi zku z czym mo»liwa jest optymalizacja ±cie»ki i trajektorii robota. Wi»e si to ze zmniejszonymi momentami i energi w przegubach, co wpªywa na popraw dynamicznych osi gów robota. Dla manipulatorów redundantnych komplikacji ulega zadanie odwrotnej kinematyki, poniewa» istnieje niesko«czona liczba jej rozwi za«. W zwi zku z tym deniuje si kryteria doboru konguracji, tak aby obliczone poªo»enia przegubów byªy optymalne.

7 1.3. Manipulator planarny Manipulator planarny Planarno±, jako cecha manipulatora, oznacza,»e porusza si on jedynie na pªaszczy¹nie, a nie w przestrzeni trójwymiarowej. Poªo»enie efektora opisuje si za pomoc wspóªrz dnych poªo»enia X i Y oraz orientacji θ. Takie ograniczenie znacz co redukuje stopie«zªo»ono±ci ruchu robota, a w konsekwencji równania opisuj ce jego ruch. Przy konstruowaniu manipulatorów planarnych istotna jest redukcja masy ruchomych elementów. Dobranie odpowiedniej orientacji robota w przestrzeni mo»e (niecaªkowicie) wyeliminowa wpªyw przyci gania ziemskiego na dynamik, poniewa» nap dy b d porusza elementami prostopadle do siªy grawitacji (obci»enie rozªo»y si na nap dy i ªo»yska). 1.4 Manipulator podatny Podatno± [1] deniowana jest jako zdolno± robota do reagowania na siªy, którymi oddziaªuje on na otoczenie, bez znajomo±ci precyzyjnego modelu ±rodowiska, w którym si znajduje. W tradycyjnym podej±ciu, do sterowania ruchu manipulatora wykorzystuje si jedynie poªo»enia i pr dko±ci. Takie rozwi zanie nie jest odporne na potencjalne siªy mog ce si pojawi przy kontakcie z niespodziewanymi obiektami, wyst puj ce na skutek zakªóce«powodowanych przez siªy zewn trzne. Obserwowane w tym momencie przyspieszenia prowadz do sporych rozbie»no±ci i bª dów pozycjonowania efektora. Problem ten mo»e by rozwi zany poprzez wprowadzenie równolegªego sterowania siª, które umo»liwia regulacj warto±ci oddziaªywania efektora na otoczenie. Kontrolowanie siªy (oddziaªywania) efektora (na otoczenie) znajduje swoje zastosowanie zarówno przy zatrzymywaniu ruchu robota w kontakcie z obiektami sztywnymi, jak i zr cznym manipulowaniu obiektami mi kkimi (np. chwytanie szklanki lub g bki). Istnieje caªy szereg metod stosowanych do sterowania siªowego. Jedn z nich jest podatno± pasywna, która wymaga szczególnej budowy manipulatora podatno± realizowana jest poprzez konstrukcj mechaniczn, która pod wpªywem zewn trznych oddzia- ªywa«zmienia swój ksztaªt (np. zgina si ) amortyzuj c pojawiaj ce si siªy. Zapewnienie strukturalnej podatno±ci odbywa si za pomoc podatnych b d¹ spr»ystych ogniw, przegubów, efektora czy te» podatnych serwomechanizmów, sªu» cych do pozycjonowania. Jednym z przykªadów jest zastosowanie równolegªej budowy robota. Podatno± pasywna charakteryzuje si du» prostot (realizacji) i niskim nakªadem kosztów, ze wzgl du na brak stosowania elektroniki czujników i sterowników. Mimo wszystko jest to rozwi zanie maªo efektywne niemo»liwa jest szybka rekonguracja manipulatora. Ponadto, radzi sobie ono jedynie z niewielkimi niedokªadno±ciami orientacji i pozycjonowania robota. Przy wi kszych zaburzeniach nie jeste±my w stanie jednoznacznie stwierdzi czy pojawiªy si du»e siªy zewn trzne. Podatno± aktywna manipulatora wynika najcz ±ciej z zastosowanego ukªadu sterowania. Wykorzystuj c sygnaªy z ró»nego rodzaju czujników sterownik otrzymuje informacje na temat siª oddziaªuj cych z zewn trz na manipulator, dzi ki czemu mo»e on modykowa trajektori w czasie rzeczywistym. Ten rodzaj podatno±ci jest bardziej skomplikowany, co implikuje wi ksze koszta i wolniejsze dziaªanie. Z drugiej strony aktywna podatno± oferuje peªn kontrol nad realizowan trajektori, co zwi ksza dokªadno± i powtarzalno± sterowania. Ze wzgl du na niedostatecznie szybk reakcj na zaburzenia, cz sto do aktywnej podatno±ci dodaje si elementy podatno±ci pasywnej. Strategie aktywnego kontrolowania interakcji dzieli si na dwie kategorie po±rednie i bezpo±rednie. Pierwsza z nich, do której nale»y kontrola impedancji, nie opiera

8 6 1. Wst p si na bezpo±rednim sprz»eniu zwrotnym od siªy, a na analizie ruchu i reakcjach robota na zaburzenia w zaplanowanej trajektorii. Kontrolowanie bezpo±rednie opiera si na peªnym modelu zadania interakcji i wymaga peªnej informacji zwrotnej. Popularnym i cz sto stosowanym po±rednim podej±ciem do sterowania manipulatora w kontakcie z nie w peªni znanym ±rodowiskiem jest wykorzystanie hybrydowego poª czenia sterowania przyspieszeniem i siª. Kontrolowanie samej siªy nie zapewnia odpowiednich wªa±ciwo- ±ci dynamicznych ruchu robota, podczas gdy sterowanie przyspieszeniem w kontakcie z przeszkodami prowadzi do bª dów wspomnianych wcze±niej. O ile zastosowanie obu sterowa«równolegle jest do± skomplikowane, stosuje si pewne uproszczenia pozwalaj ce zdekomponowa problem na dwa cz ±ci. Mo»liwe jest rozdzielenie stopni swobody robota na prac w domenie siª i przyspiesze«w taki sposób, aby nie zachodziªy one na siebie. W rezultacie, otrzymuje si manipulator steruj cy siª /momentem w wybranych kierunkach, a poªo»eniem w pozostaªych.

9 Rozdziaª 2 Cele projektu Celem projektu zrealizowanego w ramach niniejszej pracy magisterskiej jest zaprojektowanie i skonstruowanie planarnego, równolegªego i redundantnego manipulatora, który b dzie w stanie analizowa siªy dziaªaj ce na niego z zewn trz. Umo»liwi to zr czne poruszanie si robota w ±rodowisku, poniewa» ka»da napotkana przeszkoda spowoduje zatrzymanie go b d¹ te» zmusi do osi gni cia zadanego poªo»enia w innej konguracji przegubów. Dodatkow cech, która zostanie zaimplementowana w manipulatorze jest mo»liwo± uczenia si ruchów zadanych manualnie przez operatora konkretna ±cie»ka mo»e zosta zapisana na podstawie odczytów siª dziaªaj cych na nap dy. 2.1 Aspekt in»ynierski Aspekt in»ynierski projektu zakªada zaprojektowanie mechaniki i ukªadu sterowania manipulatora. Jest on ±ci±le powi zany z aspektem badawczym (2.2), poniewa» dobór parametrów ukªadu mechanicznego musiaª zosta poprzedzony szeregiem analiz i symulacji. Trójwymiarowy model obiektu zostaª wykonany z wykorzystaniem ±rodowiska Autodesk Inventor [?], które to umo»liwia szybkie i wygodnie modelowanie zªo»onych konstrukcji mechanicznych. Co wi cej, posiada on plugin SimMechanics Link [8], umo»liwiaj cy eksport modelu do toolboxa Simulink ±rodowiska Matlab [7], które jest jednym z najpopularniejszych i najbardziej rozbudowanych aplikacji symulacyjnych. W trakcie prac z wykorzystaniem Inventora skonstruowane zostaªy cztery podobne modele manipulatora, które ewoluowaªy w kierunku wersji docelowej. Projektowanie i implementacja algorytmów sterowania... Tu b dzie dalszy tekst, gdy zaczn prace nad tym etapem. 2.2 Aspekt badawczy Opracowanie kryteriów doboru parametrów kinematycznych manipulatora stanowiªo jeden z kluczowych elementów aspektu badawczego projektu. Proporcje dªugo±ci ramion robota maj istotny wpªyw na jako± i wielofunkcyjno± jego pracy, w zwi zku z czym de- niuje si caªy szereg kryteriów [12], które ró»ni si pomi dzy sob zarówno podej±ciem, jak i stopniem skomplikowania: ˆ ekscentryczno± manipulatora, mierz ca odlegªo± poªo»enia przegubów od ich pozycji ±rodkowych,

10 8 2. Cele projektu ˆ manipulowalno± manipulatora, która jest miar wra»liwo±ci efektora na lokalne wariacje konguracji, ˆ wspóªczynnik uwarunkowania, b d cy miar stopnia anizotropowo±ci konguracji, ˆ dystorsja kinematyczna, jako miara niesztywno±ci kinematyki, ˆ obj to± przestrzeni roboczej, ˆ g sto± obj to±ci kinematyki. W teorii robotyki stosuje si tak»e kombinacje kilku ró»nych kryteriów. W przypadku niniejszego projektu zastosowane zostaªo kryterium mówi ce o obj to±ci przestrzeni roboczej, co w przypadku manipulatorów planarnych sprowadza si do powierzchni przestrzeni roboczej. Obliczenie przestrzeni z du» dokªadno±ci dla wielu ró»nych konguracji robota jest niemo»liwe bez wykorzystania komputera. W zwi zku z tym konieczne okazaªo si napisanie programu z wykorzystaniem j zyka C++, który wyszukuje optymaln kon- guracj parametrów manipulatora. Szerzej zostaªo to opisane w rozdziale 5. Istotn cz ±ci aspektu badawczego projektu byªy tak»e badania porównawcze algorytmów sterowania oraz ocena ich wªasno±ci.... Tu b dzie dalszy tekst, gdy zaczn prace nad tym etapem.

11 Rozdziaª 3 Pierwowzór Pomysª na stworzenie planarnego manipulatora wywodzi si z [6]. Autorzy tego artykuªu podj li si stworzenia równolegªego manipulatora, którego cech charakterystyczn jest elastyczna ko«cówka umo»liwiaj ca pomiary siª/momentów dziaªaj cych na efektor. Jak widzimy na rysunku 3.1, do pomiaru siªy zostaª wykorzystany czujnik siª/momentów o sze±ciu stopniach swobody, dzi ki czemu mo»liwe jest wykrycie ka»dego rodzaju deformacji elastycznej ko«cówki. Zalet takiego rozwi zania jest zdolno± do analizy siª i momentów, którymi otoczenie oddziaªuje na efektor. W rezultacie, poprzez zastosowanie hybrydowego sterowania, polegaj cego na jednoczesnym kontrolowaniu poªo»enia efektora i siª na niego oddziaªuj cych, jeste±my w stanie zapewni dokªadniejsz i bezpieczniejsz interakcj manipulatora z otoczeniem. Wynika to z braku du»ych siª powstaj cych przy wykorzystaniu jedynie kontroli poªo»enia. 3.1 Ró»nice w stosunku do pierwowzoru Stworzony w ramach niniejszej pracy magisterskiej manipulator ró»ni si jednak»e w wielu aspektach od swojego pierwowzoru. Na rysunku 3.2 znajduje si model pierwowzoru, jednak»e po szeregu bada«i analiz okazaªo si,»e konstrukcja tamtego manipulatora nie zakªadaªa redundancji, która jest jednym z fundamentów tego projektu. Redundancja, która umo»liwia osi gni cie jednego poªo»enia efektora przy pomocy wielu ró»nych kon- guracji manipulatora, zostaªa zapewniona poprzez wprowadzenie jednego dodatkowego przegubu pasywnego. Co wi cej, w stosunku do pierwowzoru elastyczne ramie poª czone z czujnikiem siª i momentów zostaªo zast pione przez inny mechanizm, opisany dokªadniej w rozdziale??. Dzi ki zmianom w konstrukcji manipulator stworzony w ramach tego projektu posiada wi ksz gam potencjalnych zastosowa«, np. mo»liwo± uczenia si. 3.2 Inne projekty wykorzystuj ce podobne rozwi zania Przed przyst pieniem do projektowania manipulatora przeanalizowane zostaªy podobne rozwi zania, które dostarczyªy pomysªów dla realizacji projektu. Praca [10] przedstawia konstrukcj podatnego manipulatora planarnego, który ma mo»liwo± operowania i interakcji z obiektami, które nie s precyzyjnie umieszczone w jego otoczeniu. Zastosowane tam zostaªy innowacyjne algorytmy sterowania pozwalaj ce kontrolowa sztywno± i impedancj manipulatora. Dzi ki spr»ynom umieszczonym szeregowo z ramionami robot kontroluje siªy oddziaªuj ce na niego z otoczenia. W samej pracy znajduje si szereg bada«i analiz, które przedstawiaj wydajno± takiego rozwi zania.

12 10 3. Pierwowzór Rysunek 3.1 Pierwowzór konstruowanego manipulatora Rysunek 3.2 Model pierwowzoru konstruowanego manipulatora

13 3.3. Testowe modele manipulatora 11 Rysunek 3.3 Testowy model manipulatora W artykule [9] znajduje si inny algorytm sterowania podatnego manipulatora planarnego, oparty na strategii AFC (active force control aktywne sterowanie siª ). Podej±cie to w poª czeniu z regulatorem PID w skuteczny sposób redukuje zaburzenia pozycjonowania ramion robota. Caªo± zostaªa przetestowana na równolegªym manipulatorze typu RRR o trzech stopniach swobody, dla którego w raporcie wyprowadzone zostaªy prosta i odwrotna kinematyka. Interesuj cy robot o dwóch stopniach swobody znajduje si w artykule [2]. Jest to planarny, równolegªy manipulator wykorzystywany przy pracy z systemami póªprzewodnikowymi. Ze wzgl du na minimalizacj masy poruszaj cych si elementów robot pozycjonowany jest z niezwykle du» dokªadno±ci, co jest wymagane przy pracy z póªprzewodnikami. Zwi kszenie precyzji pozycjonowania efektora na pªaszczy¹nie XY otrzymano poprzez zastosowanie równolegªej budowy robota. W raporcie tym znajduje si tak»e bogate porównanie z tradycyjnymi metodami sterowania, uwypuklaj ce wady i zalety mechanizmów równolegªych. Dynamik i sterowanie manipulatora redundantnego mo»na znale¹ w pracy [11]. Bazuj c na modelu dynamiki przedstawione s strategie sterowania pozycj i siª, stosowane naprzemiennie. Zdeniowane s krytyczne k ty przegubów, przy których nast puje zmiana strategii. W raporcie tym znajduj si badania porównuj ce jako± pozycjonowania efektora dla redundantnej i nieredundantnej wersji manipulatora. Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów autorzy stwierdzaj,»e bª dy w obu przypadkach s do siebie zbli»one. Istotnym wnioskiem jest fakt,»e wprowadzenie redundacji nie wpªywa na jako± pozycjonowania, a jednocze±nie zwi ksza sztywno± i mo»liwo±ci manipulacyjne robota. 3.3 Testowe modele manipulatora Przed pojawieniem si nalnej wersji manipulatora rozwa»ane byªy ró»ne warianty, a projekt ewoluowaª od pierwowzoru 3.2 do wersji nalnej??. Wersja oparta na pierwowzorze zostaªa odrzucona po pierwszych testach, gªównie ze wzgl du na wady opisane w sekcji 3.1. Model kolejnego rozpatrywanego wariantu znajduje si na rysunku 3.3. W stosunku do pierwowzoru pojawiª si jeden dodatkowy przegub, który zapewniª redundancj manipulatora. Ponadto efektorem jest sztywna cz ± (w pierwowzorze byªa elastyczna), co caªkowicie zmienia sposób sterowania i wykorzystania czujników siªy.

14 12 3. Pierwowzór (xe,y e) l4 θe β l3 φ (xb,y b) δ γ l3 (xa,ya) d α l 2 l 2 qb2 q a2 l 1 l 1 qb1 (0,0) q a1 2l0 Rysunek 3.4 Schemat próbnego manipulatora Prosta kinematyka manipulatora Wyznaczenie kinematyki prostej, polegaj ce na obliczaniu pozycji efektora (x e, y e, θ e ) na podstawie poªo»e«przegubów (q a1, q a2, q b1, q b2 ) zostaªo oparte o rysunek 3.4. Punkty (x a, y a ) oraz (x b, y b ) reprezentuj zako«czenia pierwszych dwóch ramion (odpowiednio prawego i lewego), tworz cych dwuwahadªo. Wyprowadzenie prostej kinematyki zawieraj równania Przy liczeniu kinematyki tego manipulatora nale»y wzi pod uwag kilka zaªo»e«dotycz cych modelu takich jak staªy k t β. Wynika on ze sztywnego poª czenia ogniwa efektora z ostatnim ogniwem lewego ramienia, a jego warto± zostaªa ustalona na β = 2π. 3 Na podstawie k tów przegubów nap dzanych, niezale»nie dla lewego i prawego ramienia obliczane s poªo»enia ko«ców drugich ramion (l 0 jest odlegªo±ci pocz tków ka»dego z ramion od punktu (0,0)): x a = l 0 + l 1 cos q a1 + l 2 cos(q a1 + q a2 ), x b = l 0 + l 1 cos q b1 + l 2 cos(q b1 + q b2 ), y a = l 1 sin q a1 + l 2 sin(q a1 + q a2 ), y b = l 1 sin q b1 + l 2 sin(q b1 + q b2 ). (3.1) Korzystaj c z twierdzenia cosinusów wyznaczamy k t δ, a w konsekwencji punkt ª - czenia ramion (x s, y s ): α = arctan( ya y b x a x b ), δ = arccos( d 2l 3 ), (3.2) x s = x b + l 3 cos(δ + α), y s = y b + l 3 sin(δ + α). W oparciu o ten punkt, a tak»e k ty β i δ wyznaczamy poªo»enie i orientacj efektora, które zawiera równanie (3.3).

15 3.3. Testowe modele manipulatora 13 x e = x s + l 4 cos θ e y e = y s + l 4 sin θ e, (3.3) θ e = 3π β ϕ = π β + δ + α Odwrotna kinematyka manipulatora Zadaniem kinematyki odwrotnej jest wyznaczenie poªo»e«przegubów (q a1, q a2, q b1, q b2 ) przy znanej pozycji efektora (x e, y e, θ e ). Równania zawieraj te przeksztaªcenia. Parametr γ opisuje k t pomi dzy ostatnim ogniwem prawego ramienia, a ogniwem efektora. Ze wzgl du na redundantny charakter manipulatora zadanie odwrotnej kinematyki posiada niesko«czon liczb rozwi za«. W zwi zku z tym konieczne jest wprowadzenie dodatkowego parametru. K t γ podlega optymalizacji w trakcie procesu liczenia odwrotnej kinematyki, gdy» miaª on sªu»y do kontrolowania równomierno±ci rozkªadu siª dziaªaj cych na efektor na obydwa ramiona. Ze wzgl du na pomini cie analizy siª dla testowej wersji manipulatora, mo»na przyj go jako warto± staª. Odwrotn kinematyk wyznacza si zaczynaj c od ko«ca i post puj c wstecz. W pierwszym etapie, na podstawie sinusa i cosinusa k ta θ e oraz punktu (x e, y e ) obliczane jest poªo»enie punktu ª cz cego oba ramiona (x s, y s ). { x s = x e l 4 cos(θ e ), (3.4) y s = y e l 4 sin(θ e ). W kroku kolejnym, wyznaczany jest k t φ, a tak»e nachylenie prawego ogniwa l 3 w globalnym ukªadzie wspóªrz dnych η jako ró»nic γ θ e. { ϕ = 3π β θ 2 e, (3.5) η = γ θ e. Na podstawie tych dwóch k tów, a tak»e poªo»enia punktu zª czenia ramion otrzymywane s poªo»enia (x a, y a ) i (x b, y b ): x a = x s + l 3 cos(η), y a = y s l 3 sin(η), x b = x s l 3 sin(φ), y b = y s l 3 cos(φ). (3.6) K ty nap dów (q a1, q a2 ) oraz (q b1, q b2 ) wyznaczane s niezale»nie wedªug standardowych procedur liczenia kinematyki odwrotnej dwuwahadªa, uwzgl dniaj c odcinek l 0. q a1 = arctan( ya x a l 0 ) arccos( l2 1 l2 2 +(xa l 0) 2 +ya 2 ), 2l 1 (x a l 0 ) 2 +ya 2 q a2 = π arccos( l2 1 +l2 2 (xa l 0) 2 ya 2 2l 1 l 2 ), q b1 = arctan( y b x b +l 0 ) + arccos( l2 1 l2 2 +(x b+l 0 ) 2 +y b 2 ), 2l 1 (xb +l 0 ) 2 +yb 2 q b2 = π + arccos( l2 1 +l2 2 (x b+l 0 ) 2 yb 2 2l 1 l 2 ), (3.7) Dla takiego manipulatora zostaªy przeprowadzone badania wielko±ci jego przestrzeni roboczej, jej ksztaªtu i wpªywu na rozmiar robota. Znajduj si one w rozdziale Sztywne poª czenie pomi dzy efektorem, a jednym z ramion sprawia,»e manipulator nie

16 14 3. Pierwowzór jest symetryczny wzgl dem ramion. Prowadzi to do nierównomiernego rozkªadu siª dzia- ªaj cych na efektor w obu ramionach robota (jego przegubach i silnikach). Symetryczny rozkªad siª umo»liwia precyzyjniejszy ich pomiar, co jest jednym z zaªo»e«projektu. W zwi zku z tym ten wariant projektu zostaª odrzucony, a w kolejnej wersji manipulator zostaª wzbogacony o opisywan symetri. Ponadto wyeliminowanie wspomnianego sztywnego poª czenia zwi kszyªo powierzchni jego przestrzeni roboczej, co bezpo±rednio przeªo»yªo si na popraw mo»liwo±ci manipulacyjnych.

17 Rozdziaª 4 Struktura manipulatora docelowego Na rysunku 4.1 znajduje si stworzony w programie Autodesk Inventor model ostatecznej wersji manipulatora. Jego struktura odpowiada strukturze robota zycznie skonstruowanego, z dokªadno±ci do poszczególnych cz ±ci, które zostaªy u»yte do realizacji poszczególnych elementów. Wªa±ciwo±ci i parametry mechaniczne konstrukcji zostan opisane w rozdziale?? przedstawiaj cym zyczn realizacj manipulatora. W tym rozdziale nacisk zostanie poªo»ony na kinematyczny aspekt budowy robota. 4.1 Konstrukcja manipulatora Konstrukcja manipulatora rozpoczyna si od czterech nap dów, umieszczonych po lewej stronie na rysunku 4.1. Wszystkie pozostaªe przeguby s nienap dzane (pasywne). Ka»dym z dwóch ramion steruj dwa silniki. Mechanizm równolegªy umieszczony na pocz tku ka»dego z ramion pozwala uzyska mo»liwo± manipulowania kolejnym ogniwem bez wprowadzania dodatkowego nap du, dzi ki czemu zmniejszona jest masa i bezwªadno± poruszaj cego si ramienia. Zastosowane na ko«cu poª czenie belki efektora z ka»- dym z ramion w dwóch miejscach zapewnia symetryczne rozªo»enie siª dziaªaj cych na efektor wzgl dem obu ramion. Zastosowanie mechanizmu przesuwnego pozwala na swobodny ruch manipulatora, przy zachowaniu równej odlegªo±ci pomi dzy belk efektora i ramionami. 4.2 Ograniczenia ruchu robota Równolegªa struktura manipulatora niesie za sob szereg ogranicze«na konguracje przegubów, poniewa» istniej potencjalne, wzajemne kolizje ramion, a tak»e ramion i efektora. Konieczne jest wprowadzenie odpowiednich restrykcji na zakresy k tów nap dów w celu unikni cia uszkodze«mechanicznych robota. Mechanizm ª cz cy dwa silniki deniuje ograniczenie ich obrotu ze wzgl du mo»liw kolizj dwóch równolegªych ogniw. Ponadto uszkodzenia mog pojawi si w konguracjach skrajnych, w których to jedno b d¹ oba ramiona s mocno skierowane ku sobie. Mogªoby to doprowadzi do zetkni cia si efektora z ramieniem b d¹ te» ramion pomi dzy sob. Jednym ze sposobów zarz dzania ograniczeniami jest zapewnienie wypukªo±ci zamkni tego ªa«cucha manipulatora, które poza wyeliminowaniem potencjalnych kolizji, zapewni tak»e równie» prawidªowy rozkªad siª. W manipulatorach równolegªych pojawiaj si tak»e ograniczenie k tów wynikaj ce z kinematyki (rozdziaª 4.3 i równanie (4.2)). Warto±ci k tów q a1 i q b1 przy peªnej swobodzie obrotu mogªyby skierowa ramiona l 1 poni»ej osi X, co skutkowaªoby zwróceniem si

18 16 4. Struktura manipulatora docelowego Rysunek 4.1 Model konstruowanego manipulatora efektora w przeciwn stron i licznymi kolizjami. Ponadto, k ty przegubów musz by tak dobrane, aby manipulator tworzyª zamkni ty ªa«cuch mo»na bez trudu wyobrazi sobie sytuacj, w której odlegªo± punktów (x a, y a ) oraz (x b, y b ) jest wi ksza od 2l 3. W zwi zku z tym ograniczenia na k ty nap dów musz by zdeniowane zale»nie wzgl dem siebie. Kolejne ograniczenie na poªo»enie ko«ców ramion sterowanych opisuje nierówno± x b < x a. Wynika ono zarówno z równania kinematyki (4.2), jak i potrzeby eliminacji licznych kolizji, które mog si pojawi przy naruszeniu tego warunku. Dodatkowe ograniczenia pojawiaj si przy rozpatrywaniu dynamiki robota. Maksymalne pr dko±ci obrotowe silników, a tak»e bezwªadno±ci wynikaj ce z niezerowej masy ogniw robota prowadz do ograniczenia przestrzeni dopuszczalnych pr dko±ci i przyspiesze«manipulatora. Ponadto, zastosowanie przekªadni do nap dów redukuje t przestrze«, poniewa» wi kszy nominalny moment obrotowy niesie za sob mniejsz maksymaln pr dko±. Konkretne ograniczenia na warto±ci k tów zostan szerzej opisane w cz ±ci dotycz cej implementacji, znajduj cej si w rozdziale??. 4.3 Kinematyka manipulatora Efektorem (chwytakiem) nazywa si zako«czenie konstrukcji manipulatora, które cz sto posiada mo»liwo± wymiany b d¹ modykacji. Dzi ki temu jeden robot mo»e sekwencyjnie wykonywa kilka ró»ni cych si od siebie operacji. Pod poj ciem kinematyki kryje si funkcja odwzorowuj ca przestrze«stanu Q, zawieraj c poªo»enia nap dów q Q, w przestrze«p zawieraj c wektor poªo»enia i orientacji efektora p P (R n, SO(3) lub inne) [5]. Znajomo± kinematyki jest niezb dna do manipulowania robotem, poniewa» na jej podstawie wyznaczane jest aktualne poªo»enie efektora. Odwrotna kinematyka pozwala za± na obliczenie konkretnej konguracji przegubów (poªo»e«nap dów) dla zadanej pozycji efektora, co jest wykorzystywane przy planowaniu trasy robota w przestrzeni zadaniowej. Algorytmy sterowania wykorzystuj kinematyk w celu przewidzenia zmian, które nast pi po aktualizacji pozycji nap dów Prosta kinematyka manipulatora Kinematyka prosta jest to przeksztaªcenie geometryczne, transformuj ce konguracj z przestrzeni stanu q = (q a1, q a2, q b1, q b2 ) Q w wektor w przestrzeni roboczej p = (x e, y e, θ e ) P. Ze wzgl du na planarno± konstruowanego manipulatora wyznaczenie kinematyki sprowadza si do obliczenia poªo»e«x e i y e oraz orientacji θ e, gdy» ruch ro-

19 4.3. Kinematyka manipulatora 17 (xe,y e) l4 θe (xb,y b) l3 δ γ d l3 α (xa,ya) l 2 l 2 qb2 q a2 y l 1 l 1 x qb1 (0,0) q a1 2l0 Rysunek 4.2 Schemat docelowego manipulatora bota odbywa si na pªaszczy¹nie i warto± wspóªrz dnej Z (prostopadªej do pªaszczyzny XY) jest staªa. W wyniku wprowadzenia symetryczno±ci w stosunku do kinematyki testowej wersji robota uproszczeniu ulegªy równania zawieraj ce prost kinematyk zaprojektowanego manipulatora. Wykorzystane oznaczenia znajduj swoj reprezentacj na schemacie 4.2. Wyprowadzenie kinematyki prostej ponownie rozpoczyna si od wyznaczenia punktów ko«ca ramion bezpo±rednio nap dzanych (x a, y a ) oraz (x b, y b ) na podstawie sinusów i cosinusów przegubów q Q, a tak»e odlegªo±ci l 0 : x a = L + l 1 cos q a1 + l 2 cos(q a1 + q a2 ), x b = L + l 1 cos q b1 + l 2 cos(q b1 + q b2 ), y a = l 1 sin q a1 + l 2 sin(q a1 + q a2 ), y b = l 1 sin q b1 + l 2 sin(q b1 + q b2 ). (4.1) Korzystaj c z twierdzenia cosinusów wyznaczamy k t δ, a w konsekwencji punkt ª - czenia ramion (x s, y s ): α = arctan( ya y b x a x b ), δ = arccos( d 2l 3 ), (4.2) x s = x b + l 3 cos(δ + α), y s = y b + l 3 sin(δ + α). W ukªadzie równa«4.2 zakªadamy,»e x a x b, zgodnie z ograniczeniami opisanymi w rozdziale 4.2. Orientacja manipulatora θ e deniowana jest jako k t α, jednoznacznie okre±lony przez poªo»enia (x a, y a ) i (x b, y b ), powi kszony o π. Z wykorzystaniem orientacji 2 θ e, punktu ª czenia ramion (x s, y s ), a tak»e ogniwa l 4 wyznaczane jest poªo»enie efektora (x e, y e ):

20 18 4. Struktura manipulatora docelowego Odwrotna kinematyka manipulatora x e = x s + l 4 cos θ e y e = y s + l 4 sin θ e, (4.3) θ e = α + π. 2 Odwrotna kinematyka sªu»y do wyznaczania warto±ci k tów w nap dach robota ( q Q) na podstawie informacji o poªo»eniu i orientacji efektora p P. Jest to zadanie bardziej zªo»one ni» kinematyka prosta, które w skrajnych przypadkach mo»e nie mie rozwi zania (w momencie, gdy zadane poªo»enie efektora jest nieosi galne bez naruszenia ogranicze«). Ponadto, nawet je±li istnieje rozwi zanie odwrotnej kinematyki, konguracja mo»e by mimo wszystko nieosi galna dla manipulatora konguracje po±rednie, teoretycznie umo»liwiaj ce dotarcie do niej mog narusza zadane ograniczenia. Redundantna struktura robota dodatkowo komplikuje zadanie odwrotnej kinematyki, poniewa» z denicji 1.2 manipulator redundantny mo»e osi gn konguracj na niesko«- czenie wiele sposobów. Implikuje to niesko«czon liczb rozwi za«zadania odwrotnej kinematyki. W zwi zku z tym wprowadza si dodatkowy parametr (kryterium), który wykorzystuje si do wyboru sposobu optymalizacji konguracji wynikowej. Mo»liwe jest stosowanie lokalnych miar jako±ci, które s szczególnymi przypadkami kryteriów przedstawionych w rozdziale 2.2. Wyznaczanie odwrotnej kinematyki rozpoczyna si od obliczenia poªo»enia punktu ª cz cego oba ramiona (x s, y s ): { x s = x e + l 4 cos(θ e ), (4.4) y s = y e l 4 sin(θ e ). Przy analizie projektowanego manipulatora dodatkowym parametrem jest k t γ, okre- ±lony pomi dzy ogniwem efektora, a ostatnimi ogniwami ka»dego z ramion. Jest on odpowiedzialny za rozkªad siªy dziaªaj cej na efektor na obydwa ramiona, w zwi zku z czym jest to istotny aspekt analizy siª. Korzystaj c z orientacji manipulatora, parametru γ oraz punktu (x s, y s ) wyznaczamy poªo»enia punktów (x a, y a ) oraz (x b, y b ): α = θ e π, 2 x a = x s + l 3 sin(γ + α), y a = y s l 3 cos(γ + α), (4.5) x b = x s l 3 sin(γ α), y b = y s l 3 cos(γ α). K ty nap dów (q a1, q a2 ) oraz (q b1, q b2 ) wyznaczane s niezale»nie wedªug standardowych procedur liczenia kinematyki odwrotnej dwuwahadªa, uwzgl dniaj c przesuni cie pierwszych przegubów ramion o (±l 0, 0), identycznie jak dla manipulatora testowego: q a1 = arctan( ya x a l 0 ) arccos( l2 1 l2 2 +(xa l 0) 2 +ya 2 ), 2l 1 (x a l 0 ) 2 +ya 2 q a2 = π arccos( l2 1 +l2 2 (xa l 0) 2 ya 2 2l 1 l 2 ), q b1 = arctan( y b x b +l 0 ) + arccos( l2 1 l2 2 +(x b+l 0 ) 2 +y (4.6) b 2 ), 2l 1 (xb +l 0 ) 2 +yb 2 q b2 = π + arccos( l2 1 +l2 2 (x b+l 0 ) 2 yb 2 2l 1 l 2 ),

21 4.4. Jakobian manipulatora Jakobian manipulatora W manipulatorach równolegªych, podobnie jak miaªo to miejsce w przypadku szeregowych, istnieje liniowa zale»no± pomi dzy pr dko±ciami nap dzanych przegubów q, a pr dko±ciami liniowymi i k towymi platformy (efektora), oznaczanymi jako ṗ [1]. Zale»no± ta nazywana jest jakobianem manipulatora i deniuje si j jako macierz J : gdzie J(p) = δp δq = ṗ = J(q) q, (4.7) δx e δq a1 δy e δq a1 δθ e δq a1 δx e δq a2 δy e δq a2 δθ e δq a2 δx e δq b1 δy e δq b1 δθ e δq b1 δx e δq b2 δy e δq b2 δθ e δq b2 (4.8) Jakobian wykorzystywany jest do analizy bª dów (dokªadno± pozycjonowania efektora jest zale»na od precyzji sterowania nap dów), kalibracji, analizy statycznej, a tak»e wyznaczania konguracji osobliwych. W manipulatorach równolegªych proces obliczeniowy jakobianu jest z reguªy du»o bardziej skomplikowany ni» dla manipulatorów szeregowych, gªównie ze wzgl du na uwikªan posta równa«kinematyki. W najprostszej formie jest on wyznaczany jako pochodne cz stkowe równa«kinematyki (macierz Jacobiego), gdzie zmiennymi s nap dy robota (q a1, q a2, q b1, q b2 ). Równie» w przypadku rozpatrywanego manipulatora macierz ta jest bardzo skomplikowana (obliczenia zostaªy wykonane z wykorzystaniem ±rodowiska Mathematica). Ze wzgl du na ich zªo»ono±, wyprowadzenie równa«jakobianu zamieszczono w dodatku. Korzystaj c z równania (4.7) mo»liwe jest obliczenie pr dko±ci obrotowych, które pojawiaj si w przegubach przy zadanej pr dko±ci efektora w przestrzeni zadaniowej. Wªasno± ta jest bardzo przydatna przy doborze nap dów robota, poniewa» dla zaªo»onej maksymalnej pr dko±ci efektora wyznaczane s maksymalne pr dko±ci w przegubach, b d ce jednymi z istotniejszych parametrów silników. Bior c pod uwag fakt,»e przekªadnie zwi kszaj momenty silników kosztem pr dko±ci obrotowej (wyra»anej w obrotach na minut ), konieczne jest wypracowanie kompromisu zapewniaj cego najefektywniejsz prac manipulatora. Zadanie wyznaczania maksymalnych pr dko±ci obrotowych przegubów robota mo»na zdeniowa jako problem optymalizacyjny, w którym to przy zadanych ograniczeniach na ruch manipulatora (k ty przegubów), a tak»e zadanej przestrzeni dopuszczalnych pr dko- ±ci efektora nale»y znale¹ maksymaln dopuszczaln warto± pr dko±ci obrotowej jednego z przegubów. Zadanie to mo»na formalnie przedstawi jako problem optymalizacji z ograniczeniami: ˆ Ograniczenia: q Q, ṗ P, ṗ = J(q) q, ˆ Funkcje kryterialne: q 2 1, q 2 2.

22 20 4. Struktura manipulatora docelowego Tabela. 4.1 Analiza statyczna Parametr Warto± q a1 2 q a2 q b1 q b2 q a1 q a2 q b1 q b2 q a2 2 q a1 q b1 q b2 q a1 q a2 q b1 q b [ rad] s [ rad] s [ rad] s [ rad] s [rad] [rad] [rad] [rad] [ rad] s [ rad] s [ rad] s [ rad] s [rad] [rad] [rad] [rad] Przestrzenie Q oraz P skªadaj si z zaªo»onych dopuszczalnych warto±ci poªo»e«nap dów i pr dko±ci efektora. Kwadraty pr dko±ci w funkcjach kryterialnych wynikaj z potrzeby jednakowej analizy warto±ci dodatnich i ujemnych. Dla rozpatrywanego manipulatora wystarczy wzi pod uwag jedynie nap dy q a1 i q a2, poniewa» ze wzgl du na symetryczno± pozostaªe dwa nap dy powinny wykazywa te same wªa±ciwo±ci. Proces obliczeniowy umo»liwiaj cy rozwi zanie powy»szego zadania optymalizacyjnego zostaª przeprowadzony z wykorzystaniem ±rodowiska Mathematica, które zawiera procedur NMaximize sªu» c do znajdywania maksimum funkcji kryterialnej przy zadanych ograniczeniach na podstawie oblicze«numerycznych. Sposób wywoªania procedury znajduje si na listingu???, natomiast wyniki oblicze«zawiera tabela??. 4.5 Analiza statyczna Jednym z zastosowa«jakobianu jest analiza statyczna. Umo»liwia ona wyznaczenie wektora momentów pojawiaj cych si w nap dach na skutek siª zewn trznych dziaªaj cych na manipulator (równanie 4.9). Korzystaj c jakobianu opisanego równaniem (4.8), który jest liczony na podstawie przeksztaªcenia (kinematyki) od nap dów do efektora, mo»liwe jest wyznaczenie momentów w silnikach generowanych przez siªy dziaªaj ce na efektor. Momenty i siªy w innych punktach mog by wyznaczone po obliczeniu równa«kinematyki dla tych punktów. τ = J T f. (4.9) W równaniu 4.9 τ oznacza wektor momentów nap dów (wedªug kolejno±ci ze wzoru 4.8), natomiast f deniuje wektor siª dziaªaj cych na efektor (jego rozmiar zale»y od liczby stopni swobody manipulatora) w bazowym ukªadzie wspóªrz dnych manipulatora. Dla projektowanego manipulatora s to siªy X, Y oraz moment θ. Analiza statyczna ma istotny wpªyw na dobór silników do manipulatora. Dla za- ªo»onej maksymalnej siªy dziaªaj cej na efektor okre±lone zostaªy wymagane momenty

23 4.6. Wywa»enie statyczne 21 Tabela. 4.2 Analiza statyczna Wektor siª/momentów [N]/[Nm] Momenty w nap dach [Nm] (f x, f y, m θ ) (τ a1, τ a2, τ b1, τ b2 ) (-10, 0, 0) (3.34, 7.50, 10.46, 10.8) (-100, 0, 0) (33.45, 75.03, , ) (0, -10, 0) (-0.48, -1.25, -3.03, -4.46) (0, -100, 0) (-4.85, , , -44.7) (0, 0, 10) (11.60, 18.85, 11.60, 18.85) (0, 0, 100) (115.97, , , ) (-100, -100, 0) (28.60, 62.57, 74.24, 63.33) (100, 100, 0) (-28.60, , , ) (100, 100, 100) (87.37, , 41.73, ) maksymalne pojawiaj ce si na silnikach. Jest to jedno z kryteriów doboru silników, które zostaªo wzi te pod uwag w rozdziale??. W tabeli 4.2 znajduj si maksymalne momenty mog ce si pojawi na silnikach dla kilku ró»nych warto±ci siª zewn trznych dziaªaj cych na efektor przy staªej, przykªadowej konguracji manipulatora: ˆ l 0 = 0.1m, ˆ l 1 = 0.22m, ˆ l 2 = 0.33m, ˆ l 3 = 0.35m, ˆ l 4 = 0.1m, ˆ q a1 = π 3, ˆ q a2 = π 2, ˆ q b1 = 2π 3, ˆ q b2 = π 2, Obliczenia zostaªy wykonane z wykorzystaniem ±rodowiska Mathematica, na podstawie wzoru 4.9, a tak»e jakobianu opisanego w rozdziale Wywa»enie statyczne Kolejnym ciekawym problemem statycznym dotycz cym manipulatorów równolegªych jest wywa»enie statyczne [1]. Manipulator równolegªy jest wywa»ony statycznie, gdy waga poszczególnych ogniw nie powoduje w bezruchu jakichkolwiek momentów w nap dach dla ka»dej konguracji robota. Zapewnienie wywa»enia statycznego bardzo cz sto dokonywane jest za pomoc spr»yn, co prowadzi do konieczno±ci utrzymania staªej energii potencjalnej ukªadu, na któr skªadaj si energia elastyczno±ci spr»yn, a tak»e grawitacja. W przypadku braku spr»yn nale»y zadba, by poªo»enie ±rodka masy robota nie zmieniaªo si wzdªu» wektora grawitacji (jedynie prostopadle do niego).

24 22 4. Struktura manipulatora docelowego Planarna, prostopadªa do siªy grawitacji budowa projektowanego manipulatora implikuje staª energi potencjaln ukªadu. W zwi zku z tym, bez potrzeby wprowadzania spr»yn konstruowany robot jest wywa»ony statycznie. Nale»y jednak»e pami ta,»e niewielkie zmiany ustawienia manipulatora mog prowadzi do zaburze«energii potencjalnej ukªadu. 4.7 Dynamika manipulatora Sterowanie robotem najcz ±ciej odbywa si z wykorzystaniem modelu dynamiki. Ciaªa sztywne stanowi ce ogniwa manipulatora wzbogacone zostaj (w stosunku do modelu kinematyki) o rozmiary geometryczne, mas i bezwªadno± [5]. Sterowanie oparte na modelu dynamiki lepiej sprawdza si przy precyzyjnym ±ledzeniu zadanej trajektorii, w szczególno±ci w przypadku rygorystycznych ogranicze«nakªadanych na pr dko±ci i przyspieszenia w ruchu robota. Ze wzgl du na przyj t skomplikowan struktur manipulatora model dynamiki w niniejszym projekcie zostanie pomini ty. Zadania stawiane przed robotem nie wymagaj precyzyjnego zadawania pr dko±ci i przyspiesze«, a zamkni ty, równolegªy ªa«cuch kinematyczny zapewnia odpowiedni sztywno±. Ponadto, redundancja i podatno± robota zapewnia odpowiedni reakcj na bª dy i niedokªadno±ci przy pozycjonowaniu ogniw i efektora.

25 Rozdziaª 5 Wyznaczenie wymiarów manipulatora Po zdeniowaniu modelu robota w postaci równa«kinematyki mo»na przej± do projektowania jego zycznej konstrukcji. Pierwszym etapem tego procesu jest okre±lenie» danych gabarytów robota. Istnieje kilka podej± do tego zadania 2.2, jednak»e w przypadku tej pracy zostaªa wykorzystana analiza stosunku wielko±ci przestrzeni roboczej do rozmiarów poszczególnych elementów manipulatora. 5.1 Obliczenie przestrzeni roboczej manipulatora W celu obliczenia przestrzeni roboczej manipulatora stworzony zostaª oddzielny program w j zyku C++, który realizowaª to zadanie. Skªadaª si on przede wszystkim z klasy symuluj cej obiekt manipulatora, w której zaimplementowane zostaªy metody liczenia zarówno prostej jak i odwrotnej kinematyki dla konkretnej instancji robota. Na ich podstawie wyznaczana jest przestrze«robocza. Wyniki oblicze«z wykorzystaniem jednej i drugiej metody zapisywane s do tej samej postaci, co pozwala na ich porównanie. Posta ta zakªada stworzenie odpowiednio du»ej siatki w przestrzeni (wi kszej ni» przestrze«robocza manipulatora) o okre±lonych i równych rozmiarach pojedynczych komórek wypeªnionych zerami. Nast pnie wypeªniamy warto±ciami jeden wszystkie te komórki, które s dla poprzez efektor osi galne dla badanego manipulatora Przestrze«robocza na bazie prostej kinematyki Prosta kinematyka manipulatora zaimplementowana analogicznie do oblicze«z rozdziaªu??, tutaj jest ju» liczona dla konkretnych warto±ci parametrów manipulatora. W celu wyznaczenia przestrzeni roboczej rozpatrzone zostaªy wszystkie mo»liwe konguracje k tów przegubów manipulatora, z dokªadno±ci do zadanego kroku i z wyª czeniem konguracji niedozwolonych (opisanych szerzej w rozdziale 4.2). Rezultatem wyznaczenia prostej kinematyki jest poªo»enie XY, dla którego odpowiadaj ca komórka siatki przestrzeni (ta, w której efektor w zadanej konguracji si znajduje) zostaje wypeªniona jedynk. Zwi kszenia dokªadno±ci oblicze«spowodowaªo znacz ce wydªu»enie czasu dziaªania programu. Jako rozwi zanie zastosowano iteracj kolejnych poªo»e«przegubów z pi ciokrotnie wi kszym krokiem, a dokªadn analiz przeprowadzano jedynie dla tych, które znajdywaªy si w otoczeniu (w sensie przestrzeni Q) konguracji poprawnych.

26 24 5. Wyznaczenie wymiarów manipulatora Przestrze«robocza na bazie odwrotnej kinematyki W przypadku odwrotnej kinematyki stosujemy odwrotne podej±cie do problemu wyznaczania przestrzeni roboczej. Tym razem zadanie sprowadza si do przejrzenia wszystkich komórek siatki przestrzeni i oznaczeniu jedynk tych, dla których mo»liwe jest wyznaczenie konguracji manipulatora, w której efektor znajduje si w aktualnej komórce. W zwi zku z tym funkcja wyznaczaj ca odwrotn kinematyk dla zadanego poªo»enia zwraca warto± true/false w zale»no±ci od tego czy operacja si powiodªa. Podobnie jak w przypadku kinematyki prostej zwi kszenie dokªadno±ci oblicze«negatywnie wpªyn ªo na czas oblicze«. W zwi zku z tym konieczne okazaªo si zmodykowanie algorytmu w celu redukcji zªo»ono±ci obliczeniowej. Wykorzystane zostaªo zaªo»enie mówi ce o spójno±ci przestrzeni roboczej manipulatora jest ona jednym, zwartym obszarem. W konsekwencji, mo»liwe jest wystartowanie oblicze«ze ±rodka tego obszaru i w momencie napotkania ko«ca przestrzeni roboczej zako«czenie oblicze«. Pozwoliªo to na znacz ce zwi kszenie dokªadno±ci oblicze«przy staªym czasie dziaªania programu Obwiednia przestrzeni roboczej Kolejnym etapem liczenia powierzchni jest wyznaczenie obwiedni przestrzeni roboczej na podstawie siatki wypeªnionej z wykorzystaniem metod kinematyki. W tym celu zostaª zaimplementowany algorytm, który dla zadanej siatki tworzy jej kopi zawieraj c jedynie obrys przestrzeni. Co warto doda, dla efektywno±ci oblicze«nie przeszukuje on caªej siatki, a jedynie inteligentnie porusza si po kraw dziach przestrzeni roboczej (zakªadamy,»e jest ona wypukªa). Dodatkowo w algorytmie zostaªa zaimplementowana mo»liwo± zapisania wygenerowanego obrysu do pliku. Odbywa si to poprzez przeliczenie odpowiednich komórek siatki na warto±ci X i Y co umo»liwia pó¹niejsze narysowanie przestrzeni. Przykªad takiej obwiedni, wygenerowany z pomoc programu gnuplot zostaª przedstawiony na rysunku?? Wyznaczanie powierzchni przestrzeni roboczej Na podstawie obwiedni przestrzeni roboczej jeste±my w stanie obliczy jej powierzchni. Ze wzgl du na ograniczenia numeryczne przyj te wcze±niej b dzie to jedynie jej aproksymacja. Dla ka»dej kolumny obliczamy liczb komórek siatki pomi dzy wyst pieniem pierwszej i drugiej jedynki (górna i dolna kraw d¹ obrysu), a nast pnie sumujemy wszystkie te warto±ci otrzymuj c powierzchni przestrzeni roboczej. Dokªadno± otrzymanej w ten sposób powierzchni zale»y w du»ym stopniu od zdeniowanej ziarnisto±ci siatki. 5.2 Wyznaczenie wymiarów manipulatora na podstawie przestrzeni roboczej Wzajemna relacja dªugo±ci ogniw manipulatora ma ogromny wpªyw na jego mo»liwo±ci manipulacyjne. W zwi zku z tym deniuje si zadanie optymalizacyjne, maj ce na celu wyznaczenie takiej konguracji dªugo±ci ramion robota, która zapewnia najwi ksz warto± kryterium jako±ci. Za funkcj kryterialn, która podlega zadaniu maksymalizacji, przyj ta zostaªa powierzchnia przestrzeni roboczej manipulatora. Posiadaj c mo»liwo± obliczenia jej rozmiaru dla pojedynczej instancji manipulatora jeste±my w stanie porówna je i wybra t, która zapewni nam najwi ksz warto± funkcji kryterialnej. W tym celu

27 5.2. Wyznaczenie wymiarów manipulatora na podstawie przestrzeni roboczej 25 deniujemy konkretn warto± jako sum ramion (sama warto± nie jest istotna, gdy» interesuje nas wzajemny stosunek dªugo±ci ramion). Nast pnie zmieniamy dªugo± ka»dego z ogniw z odpowiednim krokiem i obliczamy rozmiar przestrzeni roboczej, zarówno prost jak i odwrotn kinematyk. Oczywi±cie interesuj nas tylko te konguracje, w których suma dªugo±ci ramion nie przekracza zadanej sumy. Spo±ród wszystkich wygenerowanych kombinacji wybieramy t, która maksymalizuje rozmiar przestrzeni roboczej. Dla zdeniowanych ogniw nale»y wyznaczy tak»e optymalne rozstawienie pocz tków ka»dego z ramion (silników). Operacj t wykonujemy dla konkretnych dªugo±ci ogniw, które z kolei musimy liczy dla konkretnego rozstawienia zadania te s komplementarne Wyznaczenie wymiarów próbnej wersji manipulatora Przed przyst pieniem do wyznaczania konguracji docelowego manipulatora proces optymalizacji zostaª przeprowadzony dla wersji próbnej, opisanej w rozdziale??. W tym przypadku dokªadno± wyniku nie byªa najistotniejsza, w zwi zku z czym wszystkie dªugo±ci iterowano z krokiem 10, przy czym ich suma powinna wynosi 100. Po zaimplementowaniu prostej i odwrotnej kinematyki na pocz tku wyznaczono optymalne konguracje dla kilku przykªadowych warto±ci L, b d cych poªow odlegªo±ci pomi dzy pocz tkami ramion manipulatora: ˆ kinematyka prosta: l 0 = 0 : l 1 = 40, l 2 = 20, l 3 = 40, l 4 = 0, l 0 = 10 : l 1 = 30, l 2 = 30, l 3 = 40, l 4 = 0, l 0 = 20 : l 1 = 20, l 2 = 40, l 3 = 40, l 4 = 0, l 0 = 30 : l 1 = 20, l 2 = 30, l 3 = 50, l 4 = 0, l 0 = 40 : l 1 = 20, l 2 = 30, l 3 = 50, l 4 = 0, ˆ kinematyka odwrotna: l 0 = 0 : l 1 = 30, l 2 = 40, l 3 = 30, l 4 = 0, l 0 = 10 : l 1 = 30, l 2 = 40, l 3 = 30, l 4 = 0, l 0 = 20 : l 1 = 30, l 2 = 30, l 3 = 40, l 4 = 0, l 0 = 30 : l 1 = 30, l 2 = 20, l 3 = 50, l 4 = 0, l 0 = 40 : l 1 = 20, l 2 = 30, l 3 = 50, l 4 = 0, Warto wspomnie,»e parametry l 1 l 4 byªy iterowane na przedziale od 0 do 50. Jak widzimy, dla tej wersji manipulatora ostatnie z ramion najmniej wpªywa na wielko± przestrzeni roboczej, w zwi zku z czym algorytm staraª si je eliminowa (dzi ki temu inne ramiona mogªy by dªu»sze). Przy oddalaniu pocz tków ramion od siebie wzrasta znaczenie trzeciego ramienia, podczas gdy maleje pierwszego. Ró»nice pomi dzy prost i odwrotn kinematyk wynikaj gªównie z ró»nych metodologii liczenia, jednak»e warto rozwa»y i jedn i drug opcj w celu zebrania wi kszej ilo±ci obserwacji. Posiadaj c kilka wybranych konguracji manipulatora mo»emy teraz dokªadniej ju» (z krokiem 1) znale¹ najlepsz dla nich odlegªo± l 0. Wyniki zostaªy zaprezentowane na wykresach, rysunek prosta kinematyka i rysunek Jak mo»na si byªo spodziewa, w obu przypadkach najwi ksza przestrze«robocza jest osi gana dla maªych warto±ci l 0. Jednak»e jest to sprzeczne z wymaganiem dotycz cym rozªo»enia siª dziaªaj cych na efektor na