KILKA UWAG DOTYCZĄCYCH STOPY ZWROTU W TERMINIE DO WYKUPU

Transkrypt

1 ETODY ILOŚCIOWE W BADAIACH EKOOICZYCH Tom XIII/3, 202, KILKA UWAG DOTYCZĄCYCH STOY ZWROTU W TERIIE DO WYKUU Andzej Kapo Kaeda Ekonome Sayyk Szkoła Główna Gopodawa Wejkego w Wazawe andzej_kapo@ggw.pl Sezczene: Sopa zwou w emne do wykupu (YT) je podawową powzechne oowaną maą efekywnośc nweycj w papey dłużne. Wykozyywana pzez pakyków defncja zakłada ałe płanośc kuponowe jednakowe okey odekowe. Są o oganczena neealyczne. W pezenowanej pacy auo zajmuje ę pzypadkem ogólnym, podaje wyażena na waość wewnęzną oblgacj bez wymenonych założeń. W konekwencj wypowadza wzó na opę zwou w emne do wykupu w poac uwzględnającej zmenne okey odekowe, poadający włanośc aympoyczne zgodne z meodologą wyceny papeów dłużnych dający możlwość dalzych pzyblżeń. Słowa kluczowe: oblgacja, waość wewnęzna, kzywa dochodowośc, opa zwou w emne do wykupu, beżąca opa zwou WSTĘ oblem okeślena efekywnośc nweycj w papey dłużne je badzo ony z punku wdzena ynku fnanowego, pzede wzykm ze względu na olę jaką odgywają na nm numeny emowane pzez kab pańwa. ożlwa do oągnęca opa zwou, welkość płanośc kuponowych, opy dykonowe ą podawą konukcj numenów dłużnych nnych emenów, kózy opeają ę na paameach chaakeyzujących numeny kabowe. Jednym z podawowych je opa zwou w emne do wykupu YT (ang. yeld o mauy) defnowana pzy założenu płakej ukuy emnowej. a ogół ne da ę podać jej dokładnej waośc, wymagane ą pzyblżena, a zaem założena upazczające defncję. W pacy zezygnowano z welu upozczeń, chocażby z jednakowych okeów odekowych, czy eż założena, że w momence

2 08 Andzej Kapo wyznaczana opy zwou w emne do wykupu mamy pzed obą pełne okey odekowe. Inencją auoa je upoządkowane wedzy na ema YT podane wzoów, zaówno ścłych, gdy je o możlwe, jak pzyblżonych, ale w ogólnejzej poac nż ą oowane w pakyce. Dodakowo pzepowadzona zoane dykuja włanośc opy zwou w emne do wykupu. Rozważana zoaną oganczone do oblgacj bez dodakowych opcj w odzaju pawa do wcześnejzego wykupu pzez emena lub pawa do pzedawena do wcześnejzego wykupu pzez nweoa. Równeż ne będą ozważane oblgacje zamenne, e bowem badzej pzypomnają opcje nż numeny dłużne. ROZWAŻAIA WSTĘE W ej częśc pacy zoaną podane założena wępne oaz pzepowadzona dykuja ogólnego wzou na waość wewnęzną oblgacj. Załóżmy, że mamy do czynena z oblgacją wypłacającą odek w chwlach pzyzłych, 2,, (day). onado, chwlę dzejzą, czyl daę wyceny oblgacj, oznaczać będzemy ymbolem 0. W ym momence odek mogą być wypłacane, ale ne muzą. Dodakowo, dla wygody, chwlę końcową oznaczać będzemy ymbolem T. Wówcza naępuje wykup oblgacj oaz wypłaa oanego kuponu. zyjęe oznaczena pozwalają wyazć w poac óżnc: emn do wykupu T 0 oaz okey odekowe Δ =, gdze =,2,,. Zachodz wówcza oczywa ówność: = Δ = T 0. zyjmujemy umowę, że wzelke okey czau będą wyażone w laach. ech h, oznacza umeń odeek (kwoę odeek odneoną do oku). Wówcza, w okee odekowym Δ wypłaa będze ówna: h, Δ. Sumeń odeek wąże ę z nomnalną opą kuponową w okee od do zwązkem: h, =,, gdze je waoścą nomnalną oblgacj. Do wyceny oblgacj koneczne je pzyjęce wymaganych óp pocenowych, zwązanych z momenam wypłay odeek. Będą one gały olę óp dykonowych. Załóżmy zaem, że dyponujemy ukuą emnową zadawaną funkcją (). Z defncj () je nomnalną opą naychmaową (po), czyl opą zwou z nweycj zaczynającej ę w chwl obecnej 0 kończącej ę w chwl pzyzłej. a użyek dalzych ozważań wpowadzmy oznaczene: ( ) = 0,. e oganczając ogólnośc ozważań możemy założyć, że ukua emnowa je funkcją cągłą ma kończoną waość ganczną: lm = 0,. Założene o wynka z pakyk ynkowej. Inweycje długoemnowe,

3 Klka uwag doyczących opy zwou 09 na pzykład dwudzeo- lub zydzeolene chaakeyzują ę kończonym nomnalnym opam pocenowym, newele óżnącym ę od óp klku lub klkunaolench. e czynmy żadnych założeń doyczących monooncznośc (), ale wao pzypomneć andadową emnologę: nomalna ukua emnowa wyępuje wówcza, gdy funkcja je onąca; odwócona, gdy je malejąca płaka, gdy je o funkcja ała. omjamy nne pzypadk, gdy () ne je monoonczna, chocaż ake yuacje mają mejce na zeczywych ynkach fnanowych. Wękzość wynków zapezenowanych w pacy ne zależy od monooncznośc ukuy emnowej. Dużo ważnejze je pzyjęe wyżej założene o kończonej gancy pzy dążącym do nekończonośc. Sandadowe wyażene na waość wewnęzną oblgacj, jako uma zdykonowanych pzepływów fnanowych, pzybea poać [Kapo, 2008, 3]: h, Δ T = + = ( + Δ ) ( ) = + Δ m m m= 0, () 0 0, m gdze ymbol w jawny poób uwzględna chwlę dzejzą 0 (daa wyceny) końcową T (wykup oblgacj). Wyażene o je mało wygodne do dalzej dykuj poza dwoma wnokam, kóe nauwają ę naychma: waość wewnęzna je malejącą funkcją óp naychmaowych 0, oaz jej waość, pzy zeowych opach pocenowych je ówna: T = h Δ + 0 =,. Zaem wyaża ę w poac umy płanośc kuponowych waośc nomnalnej. Dalza dykuja wymaga pzekzałcena powyżzego wzou. W ym celu kozyamy z defncj jednookeowych óp emnowych, zwązanych z okeam odekowym f, Δ [Kapo, 2008, 4], [Luenbege, 2003]: ( + Δ ) 0, m ( + Δ ) + m=, Δ = m= 0, m h, f (2) Dodakowo, zaępując umene odeek opam kuponowym możemy ozymać naępującą zależność: T ( f ) Δ 0,, = (3) = + Δ ( ) m= 0, m Dykuję ego wzou waz z wnokam ważnym z punku wdzena nweoów, można znaleźć we wcześnejzej pacy auoa [Kapo, 2008, 3]. Wao w ym mejcu zwócć uwagę na o, że waość wewnęzna one zależy od elacj, pomędzy opam kuponowym opam emnowym. Te oane, w zależnośc od konukcj oblgacj, mogą być opam WIBOR lub enownoścą f,,

4 0 Andzej Kapo bonów kabowych, jeśl ozważamy oblgacje o zmennym opocenowanu. Skab ańwa najczęścej ofeuje opocenowane powązane z ym dwoma paameam ynkowym. Oczywśce, ne znamy pzyzłych óp, an ynkowych, an kuponowych, ale emen zawze deklauje okeśloną elację pomędzy nm. Zaglądając do lów emyjnych oblgacj kabowych zauważymy, że oblgacje dealczne mają opy kuponowe zwązane ze opą WIBOR (uożamaną w ym pzypadku z f, ) elacją:, = pf,, gdze p je dla danej oblgacj ałym czynnkem, najczęścej pzyjmującym waośc: 0,98, 0,95 d.. W obecnej yuacj ynkowej wpółczynnk p ą mnejze od jednośc, z wyjąkem e wyemowanej w luym 202 oku, dla kóej p =. Wao w ym momence wpomneć, że en pzypadek powadz do anomalnego zachowana ę ceny oblgacj w funkcj óp dykonowych [Kapo, 202, 5]. Wpomnana ea TZ025 je oaną noowaną na Gełdze apeów Waoścowych w Wazawe. Kolejne emje mają denyczną konukcję, ale ne ą noowane na wolnym ynku. Z kole opocenowane oblgacj huowych powązane je z enownoścą bonów kabowych. Ich zwązek ze opam emnowym opany je ównoścą:, = + f,, w kóej je zędu jednego pocena. W pacy [Kapo, 2008, 3] zamezczono dykuję powyżzej zależnośc zakładając ogólną elację:, = + pf,, zaem obejmującą obe gupy wpomnanych oblgacj kabowych. W zczególnym pzypadku ozymujemy oblgacje o ałym opocenowanu ( p = 0 ) lub oblgacje zeokuponowe ( = 0, p = 0 ). STOA ZWROTU W TERIIE DO WYKUU Defncja opy zwou w emne do wykupu YT je naępująca: Je o opa pełnająca ównane: T ( YT ) Δ 0, = (4) = ( + Δ ) m= YT m w kóym je ceną ynkową oblgacj lub waoścą wewnęzną, jeśl YT poakujemy jako opę wymaganą pzez nweoa. Rozwązane ego ównana naęcza wele kłopoów może być ozymane jedyne w poac pzyblżonej, z wyjąkem pewnych zczególnych pzypadków. Cena je funkcją cągłą monoonczne malejącą do zea pzy ope YT dążącej do nekończonośc, zaem neje jednoznaczne ozwązane powyżzego ównana pzy zadanej waośc. Obewując noowana oblgacj na Gełdze apeów Waoścowych w Wazawe można zauważyć, że ch cena newele óżn ę Ly emyjne ą doępne na onach newa Fnanów:

5 Klka uwag doyczących opy zwou od waośc nomnalnej. onżza abela podaje noowana oblgacj zylench o zmennym opocenowanu. W oczy zuca ę mała płynność, neey je o cecha wzykch oblgacj wyępujących na polkm ynku kapałowym, w ym ówneż kabowych. Tabela. Tabela noowań oblgacj zylench na GW w dnu azwa oblgacj Daa oanej anakcj Ku zamknęca TZ ,9 TZ ,2 TZ ,00 TZ ,30 TZ ,9 TZ ,22 TZ ,90 TZ ,05 TZ ,20 Źódło: Gełda apeów Waoścowych w Wazawe W konekwencj nauwa ę pzypuzczene, że ozwązana ównana (4) można pozukwać pzyblżając funkcję ( YT ) yczną w punkce, w kóym zachodz ówność: T = 0. Z cągłośc monooncznośc wynka, że aka waość agumenu neje dokładne jedna, bowem waośc ozważanej funkcj zaweają ę w pzedzale Δ +,0). Oznaczając zukaną opę ymbolem =, YT (gdze wkaźnk nawązuje do waośc nomnalnej ) mumy ozwązać ównane: (, YT ) Δ = 0 (5) = ( + Δ ) m= YT m Jeśl opa kuponowa je ała (, = ), o ścłym ozwązanem je YT =, w pozoałych pzypadkach ponowne mumy zadowolć ę ozwązanem pzyblżonym. Jeśl loczyny w manownkach zaąpmy jedynkam, o ozwązanem będze śedna ważona czaem óp kuponowych: Δ YT, (6) T = 0

6 2 Andzej Kapo YT je ówna: ochodna ceny względem opy ( ) YT = YT = Suma po pawej one zawea óżnce ( + Δ ) YT (, YT ) + YT = m ( Δ ) m= m (7) Δ Δm m= + Δ YT m, kóe ą blke zeu gdy YT = YT. Śedna opa kuponowa newele óżn ę od woch kładnków, pzede wzykm wówcza, gdy mamy do czynena ze ablną yuacją ynkową. Wówcza opy kuponowe zmenają ę w newelkm zakee, zczególne w kókm lub śednm okee czau. W konekwencj, pzyblżonemu wpółczynnkow keunkowemu zukanej ycznej można nadać waość: ( ) YT ( + Δ ) (8) YT = YT m ząc ównane ycznej wyznaczając z nej YT znajdujemy pzyblżoną waość opy zwou w emne do wykupu: 0T YT YT ( ) (9) = + Δ m YT m W pzypadku oblgacj o ałym kupone, = = con opa YT je ówna ope kuponowej je o ścłe ozwązane ównana (4). onado, pomnęe wyżej wyazy zaweające óżnce, YT ą dokładne ówne zeu. Zaem w ym pzypadku ozymane pzyblżene opy zwou w emne do wykupu kozya jedyne z pzyblżena zależnośc ( YT ) yczną. zyjzyjmy ę ównanu na YT. Zama pzyblżonego ozwązana w poac śednej ważonej czaem óp kuponowych możemy kozyać z nnego ozacowana. Załóżmy, że cąg óp kuponowych, dla =,2,, je oganczony, co je naualnym założenem z punku wdzena ynku fnanowego. =, Góne dolne oganczena oznaczmy odpowedno: max up{, } = { }. mn nf,, YT

7 Klka uwag doyczących opy zwou 3 o kozyanu z ożamośc: Δ = ( + Δ ) ( + Δ ) (0) = = YT m YT m m= YT m ównane (4) powadz do ozacowana: mn YT max () zyjęe ozwązane w poac śednej ważonej czaem óp kuponowych pełna powyżzą neówność, ale o ozacowane pozwala we wzoze (9) wawć za YT jakąkolwek waość pełnającą waunek (), na pzykład śedną aymeyczną keów cągu, lub obecną waość opy kuponowej. Ten dug waan je zczególne użyeczny z pakycznego punku wdzena, bowem ne wymaga znajomośc wzykch óp kuponowych, w ym pognozowanych, a jedyne ej, kóa je właśne obowązująca. onado wdać dlaczego oblgacje o ałym kupone powadzą do ścłego ozwązana ównana (4), wówcza oba key ą jednakowe. Z ozymanej zależnośc wynka dodakowy ważny wnoek mający zaoowane dla oblgacj bezemnowych lub długoemnowych. awe w ym pewzym pzypadku, gdy cąg óp kuponowych je nekończony, założene o jego oganczonośc pozoaje w mocy. W konekwencj, w gancy opa zwou w emne do wykupu, ozymana z ównana (9), pzyjmuje waość: 0T YT = YT (2) Jej jawna poać zależy od pzyjęego ozacowana opy YT. Jeśl mamy do czynena z oblgacjam o ałym kupone, o ozymane ozwązane powadz do opy zwou zadanej wzoem: 0T YT = (3) W pzypadku oblgacj bezemnowych je o ścła waość, kóą można ozymać bezpośedno ze wzou (4) na cenę oblgacj, bez jakchkolwek pzyblżeń. Dla oblgacj długoemnowych powyżzy wzó je pzyblżony, ale częo oowany w pakyce, pzede wzykm ze względu na woją pooę. a zakończene wao zwócć uwagę na naępujący apek zapezenowanego ozwązana ównana (5), gdze czynnk w manownkach zaąpono najmnejzą ch waoścą, a manowce jedynkam. Jeśl pozukujemy lepzego pzyblżena, o możemy uwzględnć naępny wyaz ozwnęca kozyać z ównośc: YT ( 0 ) (4) + Δ ( ) m = YT m

8 4 Andzej Kapo Wówcza ozwązane będze mało poać: = Δ, YT = (5) T 0 + ( ) = Δ, 0 ozoałe wyażena na opę zwou w emne do wykupu pozoaną bez zman, ale wyępująca w nch opa YT będze mała waość zadaną powyżzym wzoem. Jednak o pzyblżene ne powadz do ścłego ozwązana ównana (5), gdy mamy do czynena z oblgacjam o ałym kupone. Jednak pzykłady lczbowe wykozyujące dane empyczne pokazują, że lepze wynk daje pzyblżene wzoem (6) lub ozacowane (). IE ODEJŚCIE DO STOY YT ajczęścej wykozyywana do oblczeń pzyblżona waość opy zwou w emne do wykupu wykozyuje pzyblżene zależnośc ( YT ) funkcją wymeną poac: α + β YT T = (5) 0 + γ YT Wpółczynnk α, β, γ dla oblgacj o ałym kupone wyznaczamy z waunków na waośc funkcj w punkach YT = 0 (wedy T = = h, Δ + ), 0 YT = (wówcza T = 0 ) oaz na waość aympoyczną pzy YT +, pzyjmując, że waość wewnęzna dąży do. Dwa pewze punky leżą na kzywej, naoma zec je neealyczny, gdyż w zeczywośc ganczną waoścą je zeo. Take podejśce daje wzó dobze pawdzający ę dla zeczywych waośc opy zwou w emne do wykupu newele óżnącej ę od zea od YT =. a on poać [Fabozz n. 2000], [Luenbege, 2003]: 0T + T 0 (6) YT 2 + 0T Jednak w poównanu z wyażenem zapoponowanym w popzednm ozdzale, ne powadz on do właścwej waośc aympoycznej chaakeyzującej oblgacje bezemnowe. onado ne uwzględna zmennych okeów odekowych, kóe wyępują na zeczywym ynku. W zczególnośc, opa oblczana z powyżzego wzou będze jednakowa bez względu na o czy odek ą wypłacane az w oku, dwa azy, czy w nnych okeach jeśl ylko oblgacje mają jednakową cenę ak am emn do wykupu. Je o oczywe upozczene, nna je opa zwou gdy enweujemy kapał częścej, a nna gdy zadzej. Zaem wzó en ne uwzględna

9 Klka uwag doyczących opy zwou 5 ealów ynku oblgacj, nemnej jednak daje doyć dobe pzyblżene dlaego je powzechne oowany. ożna w ym mejcu zapoponować jego waan mający zaoowane do oblgacj o zmennym opocenowanu anowce, jeśl dug wpomnany wyżej waunek zaąpmy neco ogólnejzym, ale Δ pzyblżonym: YT =,, dla T =, o ozymamy naępującą 0 T 0 waość opy zwou w emne do wykupu: Δ 0T =, + T 0 T 0 (7) YT 2 + oada ona e ame mankameny co opa wyznaczona ze wzou (6), ale ma ogólnejzą poać uwzględnającą zmenne opy kuponowe nejednakowe okey odekowe ówneż daje dobe pzyblżene. Gdy ozważamy oblgacje o ałym kupone wzó (7) aje ę popzednm wzoem. UWAGI KOŃCOWE W podumowanu wao wpomneć, że częo oowany w pakyce wzó pzyblżony (6) okeślający opę zwou w emne do wykupu [Fabozz, 2000] ma badzo oganczone zaoowane. zede wzykm dlaego, że ne uwzględna zmennych okeów odekowych, onych z nweycyjnego punku wdzena. onado, ozymuje ę go pzy założenu, kóe ne ma nc wpólnego z zeczywym aympoycznym zachowanem ę waośc wewnęznej:, gdy +. Zapoponowany pzez auoa wzó (9) ne ma ych 0T YT mankamenów. Co węcej, uwzględna zmenne okey odekowe, ma włanośc aympoyczne zgodne z wyceną oblgacj, mędzy nnym powadz do beżącej opy zwou (3), będącej ścłym ozwązanem ównana (5). Dodakowo, nejako pzy okazj, pojawła ę modyfkacja wyażena na opę YT uwzględnająca ozacowana zmennych óp kuponowych (). ewelka lość mejca ne pozwala pzyoczyć pzykładów wykozyana podanych pzez auoa wzoów dla oblgacj noowanych na ynku fnanowym, ale ozymane pzyblżena okazują ę badzo dobe. W pzykładowych ozacowanach, w zależnośc od emnu do wykupu, ozymane waośc óżną ę od zeczywych znaczne mnej nż jeden pocen, do oblczeń pzyjęo duży zake zmennośc kuponów okeów wykupu oblgacj. Wao ówneż wpomneć, że podobne wyażena do (9) można ozymać pzy zacowanu wewnęznej opy zwou wykozyywanej pzy ocene pojeków nweycyjnych oaz zeczywej ocznej opy opocenowana kedyów. 0T

10 6 Andzej Kapo BIBLIOGRAFIA Fabozz F., J., Fong G. (2000) Zaządzane pofelem nweycj fnanowych pzynozących ały dochód, W, Wazawa. Fabozz F., J. (2000) Rynk oblgacj. Analza aege, WIG RESS, Wazawa. Kapo A. (2008) Some Apec of Deb Secue Valuaon In Decee Tme, Opmum. Suda Ekonomczne, 3 (39), Kapo A. (2008) Sopy emnowe pzy óżnych poceach akumulacj kapału, aemayczne Apeky Ekonom (ed. W. Kulpa), Wydawncwo Unweyeu Kadynała Sefana Wyzyńkego, Wazawa, Kapo A. (202) Anomale n bond pcng, 73 Konfeencja Inenaonal Alanc Economcal Socey, Iambuł, 28-3 maca 202. Luenbege D., G. (2003) Teoa nweycj fnanowych, W, Wazawa. A FEW REARKS O YIELD TO ATURITY Abac: Yeld o mauy he fundamenal and common ued meaue of nvemen effecvene n deb ecue. Almo alway defned unde non ealc aumpon, namely ha coupon paymen ae conan and coupon peod ae he ame. In he peened wok auho concen he geneal cae. He gve he expeon fo nnc value of bond whou mplfyng aumpon. The mplcaon of he egnaon wh mplfyng aumpon devng he fomula fo yeld o mauy n geneal cae, akng no accoun vaou coupon peod. Key wod: bond, nnc value, yeld cuve, yeld o mauy, cuen yeld