Dlaczego jedne kraje są bogate a inne biedne? Model Solowa, wersja prosta.
|
|
|
- Zbigniew Jóźwiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Maroeonomia II Dlaczego jedne raje są bogae a inne biedne? Model Solowa, wersja prosa. Maroeonomia II Joanna Siwińsa-Gorzela
2 Plan wyładu Funcja producji. San usalony Deerminany poziomu PKB na pracownia Konsumpcja złoa reguła
3 MODEL SOLOWA Jaie są źródła wzrosu gospodarczego? Rober Solow (nagroda Nobla, 987 i Trevor Swan zadali sobie nasępujące pyanie: jaie są źródła długooresowego wzrosu czy może nim być aumulacja apiału?
4 Założenia doyczące funcji producji Funcja producji jes neolasyczna, czyli. charaeryzuje się sałymi przychodami sali: ay AF ( ak, an 2. rańcowy produ pracy i apiału jes dodani i malejący: F K dy dk 0, df K dk 0 F N dy dn 0, df N dn 0 3. Waruni Inady: lim K0 F K, lim K F K 0 lim N0 F N, lim N F N 0
5 Pozosałe założenia modelu Solowa Gospodara jes jednoseorowa. Produowane jes dobro homogeniczne, óre może być albo onsumowane C albo inwesowane I w celu powięszenia zasobu apiału K. Y = C + I ; G = 0, NX = 0 Sopa oszczędności jes sała i wynosi s, czyli S = sy, s>0 Sopa wzrosu populacji (siły roboczej jes sała i wynosi n n N N Deprecjacja apiału jes sała i wynosi d
6 Tymczasowe założenie Żeby uprościć analizę, załóżmy na razie, że echnologia jes sała i równa (zmienimy o założenie już wróce! Funcja producji ma więc posać: Y= F (K, N = F (K, N Zauważmy jedna, że ineresuje nas przede wszysim produ na pracownia (w przybliżeniu: per capia
7 Funcja producji Korzysając z założenia o sałych przychodach sali możemy zapisać funcję jao: Y N F( Przyjmijmy, że K N y, N N F( Y, N Możemy więc zapisać funcję producji w posaci inensywnej, jao K N, K N y f (
8 Funcja producji Założenie o dodanich, malejących rańcowych przychodach oraz waruni Inady sprowadzają się do: df df f 0, 0 d d lim 0 f,lim f 0
9 Funcja producji
10 Zauważmy, że Producja na pracownia zależy (na razie ylo od poziomu apiału na pracownia Wynia z ego, że jeżeli zrozumiemy dynamię apiału na pracownia, o rozwiążemy problem, dlaczego nieóre raje są bogae a inne biedne
11 Aumulacja apiału K K K I dk ; gdzie : I S sy K sy dk Zauważmy jedna, że o co nas ineresuje o dynamia apiału per capia, a nie apiału, czyli chcemy obliczyć:?
12 Aumulacja apiału d sy n d sy n N K N K d sy N N N K N K d sy N K K dk sy K ( ( ( ( ( ( (
13 n d sy n Jezeli n d sy n n d sy n n d sy n d sy n ( 0 ( ( (
14 Najważniejsze równanie Wyprowadziliśmy właśnie FUNDAMENTALNE równanie modelu: sy n ( d Inwesycje powięszają zasób apiału na pracownia, deprecjacja go pomniejsza. Tempo wzrosu liczby ludności podobnie (pomniejsza Co z ego wynia? Spójrzmy na wyres.
15 Producja, oszczędności, inwesycje i onsumpcja Producja na pracownia, y f( y c sf( i Kapiał na pracownia,
16 Efeywna deprecjacja Efeywna deprecjacja na pracownia (d+n Efeywna deprecjacja ilość inwesycji porzebnych, aby urzymać apiał na pracownia na sałym poziomie
17 San usalony Inwesycje i efeywna deprecjacja Δ = sf( (d+n (d+n sy=sf( inwesycje deprecjacja *
18 San usalony
19 San usalony y* Δ = sf( (d+n f( (d+n sf( inwesycje deprecjacja *
20 San usalony (seady-sae y 0
21 San usalony San usalony (san zrównoważonego wzrosu o san, w órym apiał, producja i onsumpcja rosną w sałym, usalonym empie W obecnej wersji modelu Solowa, w sanie usalonym empo wzrosu apiału na zarudnionego, producji na zarudnionego i onsumpcji na zarudnionego równe jes ZERO Poziom apiału na pracownia w sanie usalonym o * Dochód na pracownia y* = f(*; onsumpcja na pracownia c* = f(* (n + d* Dla < *, oszczędności > poziom inwesycji niezbędny dla urzymania apiału na sałym poziomie, więc rośnie Dla > *, oszczędności < poziom inwesycji niezbędny dla urzymania apiału na sałym poziomie, więc spada
22 San usalony Niezależnie od począowego poziomu apiału na zarudnionego (i dochodu na zarudnionego ażda gospodara osiągnie san usalony Oznacza o więc, ze ażda gospodara w ońcu osiągnie san, w órym jej wzros gospodarczy będzie równy zero Niespodziana Solowa (Solow s surpise aumulacja apiału nie jes źródłem długooresowego wzrosu Główną przyczyną są malejące (do zera rańcowe przychody z apiały na pracownia
23 San usalony Znając funcję producji, wielość oszczędności, deprecjacji i empo wzrosu populacji, możemy obliczyć długooresowy poziom apiału na zarudnionego ( * i produu na zarudnionego (y * s n d f n d sf ( ( ( ( 0 *
24 Przyład Przyjmijmy funcję Cobb-Douglas * * * *, ( ( 0, n d s y n d s s n d n d s y
25 Wzros sopy oszczędności Wzros sopy oszczędności oznacza wzros inwesycji co powoduje wzros i przesunięcie sanu usalonego w prawo: Inwesycje i efeywna deprecjacja (d+n s 2 f( s f( * * 2
26 Wniosi Wzros sopy oszczędności: podnosi poziom apiału i producji na pracownia nie ma wpływu na empo producji na pracownia w długim oresie. jedynie oresowo podnosi empo wzrosu producji na pracownia, do momenu osiągnięcia nowego sanu usalonego
27 Wniosi Ścieża dochodu per capia, po wzroście sopy oszczędności w czasie Produ na pracownia y Czas
28 Sopa oszczędności a dochód per capia
29 Income per person in 992 (logarihmic scale Korelacja pomiędzy dochodem na głowę i inwesycjami, jao% dochodu 00,000 Canada U.S. De nm ar Ge rmany Japan 0,000 Egyp Pa isan Iv ory Coas Mexico Brazil Peru U.K. Isr ael France Ialy Finland Singapore,000 Chad Uganda India Cameroon Indonesia Zim babwe Kenya Invesmen as percenage of oupu (average
30 Wpływ zwięszenia empa wzrosu populacji Wzros n powoduje wzros efeywnej deprecjacji, co prowadzi do zmniejszenia w sanie usalonym Inwesycje i efe. deprecjacja (d +n 2 (d+n sf( 2 * *
31 Wniosi Wyższe empo wzrosu liczby ludności : obniża poziom apiału i producji na pracownia nie ma wpływu na empo wzrosu producji na pracownia w długim oresie. w róim oresie obniża empo wzrosu producji na pracownia, do momenu osiągnięcia nowego sanu usalonego
32 Tempo wzrosu populacji a dochód per capia
33 Wniosi Wyższe empo wzrosu liczby ludności : Ma wpływ na empo wzrosu PRODUKCJI (Y w sanie usalonym Y ( yn y * Y yn N yn yn y y N N W sanie usalonym empo wzrosu produu na pracownia wynosi zero, więc empo wzrosu producji wynosi Y Y N N n
34 Wniosi Jeżeli raje różnią się od siebie jedynie poziomem apiału na zarudnionego (raje biedne i bogae, o raje o mniejszym zasobie apiału na zarudnionego (raje biedne, będą rozwijać się szybciej niż bogae, do momenu gdy wszysie raje osiągną en sam san usalony Jes o onwergencja (zbieżność warunowa raj rozwija się ym szybciej, im jego poziom apiału na zarudnionego jes dalej od poziomu *
35 Konwergencja (Bea onwergencja absoluna raje biedne rosną szybciej niż bogae (Bea onwergencja warunowa - raje biedne rosną szybciej niż bogae, pod waruniem, że obie grupy rajów charaeryzują się ym samym sanem usalonym (czyli idenyczną funcja producji, sopą oszczędności, deprecjacji, empem wzrosu liczby ludności
36 Konwergencja empo wzrosu apiału i producji na pracownia sy ( d n Przecięny produ apiału y/ jes malejący. Najławiej zobaczyć impliacje ego równania na przyładzie funcji Cobb-Douglas s ( d n s ( d n
37 Konwergencja empo wzrosu apiału Tempo wzrosu apiału na pracownia Tempo wzrosu apiału 0 (n+d s α- *
38 Konwergencja sany USA
39 Regiony europejsie
40 PKB per capia w USA, UK i Japonii, Copyrigh 2009 Pearson Educaion, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley -40
41 Złoa reguła: wprowadzenie Różne wielości sopy oszczędności s prowadzą do różnych sanów usalonych. Kóry z nich jes najlepszy? Dobroby zależy od onsumpcji, więc najlepszy san usalony, o en, dla órego warość onsumpcji na osobę jes najwięsza: c * = ( s f( * Wzros sopy oszczędności s Prowadzi do wyższego * i y *, co może zwięszyć c * Powoduje zmniejszenie udziału onsumpcji w dochodzie, co ( s, co może zmniejszyć c * Musimy więc znaleźć s i * óre masymalizują c *
42 Poziom apiału zgodny ze złoa regułą * gold Poziom apiału na głowę w sanie usalonym, óry masymalizuję onsumpcję na głowę. c * = y * sy * = f ( * (d+n * W sanie usalonym sy * = (d+n *
43 Złoa reguła y* (+n * f( * * c gold y f ( * * gold gold i * gold * * gold gold *
44 Obliczanie poziomu złoego apiału ( ( 0 ( ( ( ( n d f n d f d dc n d f c GOLD GOLD
45 Złoa reguła c * = f( * (d+n * jes najwięsze, gdy nachylenie funcji producji równe jes (n+d MPK = d+n * c gold f( * * gold, *
46 Obliczanie poziomu oszczędności sf GOLD ( ( d n * GOLD c
47 Przyład Przyjmijmy funcję Cobb-Douglas: Y K L y GOLD GOLD d ( d n n
48 Obliczanie poziomu oszczędności GOLD GOLD ( ( s ( ( ( s n d n d n d n d n d n d
49 Pun wyjścia: zby duża sopa oszczędności If * * gold Wedy wzros c * wymaga spadu s. y c s 0 ime
50 Pun wyjścia: zby mała sopa oszczędności If * * gold Wedy wzros c * wymaga wzrosu s. y Przyszłe generacje będą się cieszyły wyższą onsumpcją, jedna obecna musi począowo ograniczyć onsumpcję c i 0 ime
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 9. Dlaczego jedne kraje są bogate, a inne biedne? Model Solowa, wersja prosta. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 9. Dlaczego jedne kraje są bogate, a inne biedne? Model Solowa, wersja prosta Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Funkcja produkcji - własności. Model Solowa
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 10. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 10. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Złota reguła problem maksymalizacji konsumpcji per capita. Model
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 9. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 9. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Złota reguła problem maksymalizacji konsumpcji per capita. Model
dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
dr Bartłomiej Roici atedra Maroeonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nau Eonomicznych UW dr Bartłomiej Roici Maroeonomia II Model Solowa z postępem technologicznym by do modelu Solowa włączyć postęp
Wpływ rządu na gospodarkę w długim okresie.
Wpływ rządu na gospodarę w długim oresie. Teoria & badania empiryczne Dr hab. Joanna Siwińsa-Gorzela. Wniosi z modelu RCK W długim oresie gospodara znajdzie się w stanie ustalonym, gdyż wraz ze wzrostem
INWESTYCJE. Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
INWESTYCJE Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Inwesycje Inwesycje w kapiał rwały: wydaki przedsiębiorsw na dobra używane podczas procesu produkcji innych dóbr Inwesycje
Modele wzrostu typu Ak. Znaczenie sektora publicznego
Modele wzrostu typu A. Znaczenie setora publicznego Modele AK Modele neolasyczna załadają malejące rańcowe przychody z apitału, co jest powodem niespodziani Solowa. Co jedna, jeżeli możliwa jest uciecza
Inwestycje. Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Inwesycje Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak CIASTECZOWY ZAWRÓT GŁOWY o akcja mająca miejsce w najbliższą środę (30 lisopada) na naszym Wydziale. Wydarzenie o związane jes z rwającym od
Podstawowe fakty. Model Solowa przypomnienie
Podstawowe fakty. Model Solowa przypomnienie Zaawansowana Makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Długi i krótki okres w makroekonomii Źródłem większości grafik jest Acemoglu; Introduction do Modern
Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.
Plan wykładu Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Model wzrostu Solowa. Krytyka podejścia klasycznego wstęp do endogenicznych podstaw wzrostu gospodarczego. Potrzeba analizy wzrostu
Postęp techniczny. Model lidera-naśladowcy. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Posęp echniczny. Model lidera-naśladowcy Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Założenia Rozparujemy dwa kraje; kraj 1 jes bardziej zaawansowany echnologicznie (lider); kraj 2 jes mniej zaawansowany i nie worzy
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) i E E E i r r = = = = = θ θ ρ ν φ ε ρ α * 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa
ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)
ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je
Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia
Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia ZESTAW 5 MODEL SOLOWA Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je
Zbio r zadan Makroekonomia II c wiczenia 2016/2017
Zbio r zadan Makroekonomia II c wiczenia 2016/2017 ZESTAW 1 FUNKCJA PRODUKCJI Zadanie 1.1 Przyjmuje się, że funkcja produkcji musi charakteryzować się stałymi przychodami skali oraz dodatnią i malejącą
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) E i E E i r r ν φ θ θ ρ ε ρ α 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa Oczekiwania
Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji może zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0
dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solow-Swan W modelu lasycznym mieliśmy do czynienia ze stałą wielością czynniów producji, a zatem był to model statyczny, tóry nie poazywał nam dlaczego
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak E i E E i r r 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa Oczekiwania Reguła poliyki monearnej
Analiza popytu. Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych. (pod red. Krzysztofa Jajugi), Wydawnictwo AE Wrocław, 1999.
Analiza popyu Eonomeria. Meody i analiza problemów eonomicznych (pod red. Krzyszofa Jajugi) Wydawnicwo AE Wrocław 1999. Popy P = f ( X X... X ε ) 1 2 m Zmienne onrolowane: np.: cena (C) nałady na relamę
Wstęp. Funkcja produkcji i dekompozycja wzrostu
Makroekonomia II Wstęp. Funkcja produkcji i dekompozycja wzrostu Makroekonomia II Joanna Siwińska-Gorzelak Plan wykładu Wstęp zasady zaliczenia, itp. Krótki i długi okres - powtórzenie Wzrost gospodarczy
WZROST GOSPODARCZY A BEZROBOCIE
Wojciech Pacho & WZROST GOSPODARCZ A BEZROBOCIE Celem niniejszego arykułu jes pokazanie związku pomiędzy ezroociem a dynamiką wzrosu zagregowanej produkcji. Poszukujemy oowiedzi na pyanie czy i jak silnie
Wykład 3: Wzrost gospodarczy I
: Wzrost gospodarczy I Makroekonomia II Zima 2017/2018 - SGH Jacek Suda Wpływ tych rozważań na dobrobyt ludzi jest po prostu porażajacy. Kiedy raz zaczniemy myśleć o tych sprawach, trudno jest myśleć o
2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Podstawowe fakty. Model Solowa przypomnienie
Podstawowe fakty. Model Solowa przypomnienie Zaawansowana Makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Długi i krótki okres w makroekonomii Źródłem większości grafik jest Acemoglu; Introduction do Modern
Podstawowe fakty. Model Solowa szybkie przypomnienie
Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Podstawowe fakty. Model Solowa szybkie przypomnienie Zaawansowana Makroekonomia Te slajdy powstały w oparciu o książkę Acemoglu: Introduction do Modern Economic Growth
Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA
Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie
Temat 6. ( ) ( ) ( ) k. Szeregi Fouriera. Własności szeregów Fouriera. θ możemy traktować jako funkcje ω, których dziedziną jest dyskretny zbiór
ema 6 Opracował: Lesław Dereń Kaedra eorii Sygnałów Insyu eleomuniacji, eleinformayi i Ausyi Poliechnia Wrocławsa Prawa auorsie zasrzeżone Szeregi ouriera Jeżeli f ( ) jes funcją oresową o oresie, czyli
Konwergencja i nierówności na świecie. Modele neoklasyczne czy Ak? Zaawansowana makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Konwergencja i nierówności na świecie. Modele neoklasyczne czy Ak? Zaawansowana makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Na ostatnich zajęciach poznaliśmy model pokazujący znaczenie wydatków i podatków
Makroekonomia II. Plan
Makroekonomia II Wykład 5 INWESTYCJE Wyk. 5 Plan Inwesycje 1. Wsęp 2. Inwesycje w modelu akceleraora 2.1 Prosy model akceleraora 2.2 Niedosaki prosego modelu akceleraora 3. Neoklasyczna eoria inwesycji
TWIERDZENIE FRISCHA-WAUGHA-STONE A A PYTANIE RUTKAUSKASA
Uniwersye Szczecińsi TWIERDZENIE FRISCHA-WAUGHA-STONE A A PYTANIE RUTKAUSKASA Zagadnienia, óre zosaną uaj poruszone, przedsawiono m.in. w pracach [], [2], [3], [4], [5], [6]. Konferencje i seminaria nauowe
Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak
Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem
Poza modelem Solowa (jeszcze coś jest) Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Poza modelem Solowa (jeszcze coś jest) Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Dzisiaj omawiamy.. Dwa odmienne teoretyczne podejścia (w ramach teorii wzrostu) Rozszerzenia NEOKLASYCZNEGO modelu
dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Sposoby usalania płac w gospodarce Jednym z głównych powodów, dla kórych na rynku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy
Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I
Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Czas trwania kolokwium wynosi 45 minut. Należy rozwiązać dwa z trzech zamieszczonych poniżej zadań. Za każde zadanie można uzyskać maksymalnie
Makroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa
Makroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monearne: długookresowa krzywa Phillipsa Gabriela Grokowska Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Plan wykładu Krzywa Pillipsa: przypomnienie
Szeregi Fouriera (6 rozwiązanych zadań +dodatek)
PWR I Załad eorii Obwodów Szeregi ouriera (6 rozwiązanych zadań +dodae) Opracował Dr Czesław Michali Zad Znaleźć ores nasępujących sygnałów: a) y 3cos(ω ) + 5cos(7ω ) + cos(5ω ), b) y cos(ω ) + 5cos(ω
Model klasyczny. popyt na czynnik. ilość czynnika
Model klasyczny W modelu Keynesa wielkość produkcji określała suma wydatków, np.: Y C + I + G + NX W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki produkcji (K i
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 11. Poza modelem Solowa. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 11. Poza modelem Solowa dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Rozszerzenia NEOKLASYCZNEGO modelu Solowa (oparte na neoklasycznej funkcji produkcji)
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Modelowanie i obliczenia techniczne. Równania różniczkowe Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych
Moelowanie i obliczenia echniczne Równania różniczowe Numeryczne rozwiązywanie równań różniczowych zwyczajnych Przyła ułau ynamicznego E Uła ynamiczny R 0 Zachozi porzeba wyznaczenia: C u C () i() ur ir
C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Makroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa
Makroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monearne: długookresowa krzywa Phillipsa Gabriela Grokowska Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Plan wykładu Prawo Okuna Związek między bezrobociem,
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Zakłócenia w modelu DAD/DAS: Wzros produkcji poencjalnej; Zakłócenie podażowe o sile
MAKROEKONOMIA II K A T A R Z Y N A Ś L E D Z I E WS K A
MAKROEKONOMIA II K A T A R Z Y N A Ś L E D Z I E WS K A WYKŁAD X WZROST GOSPODARCZY Malthusiański model wzrostu gospodarczego Wprowadzenie Stan ustalony Efekt wzrostu produktywności Kontrola wzrostu urodzeń
i 0,T F T F 0 Zatem: oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0;N, tj. w momencie t N : F t F 0 t 0;N, F 0
Maemayka finansowa i ubezpieczeniowa - 1 Sopy procenowe i dyskonowe 1. Sopa procenowa (sopa zwrou, sopa zysku) (Ineres Rae). Niech: F - kapiał wypoŝyczony (zainwesowany) w momencie, F T - kapiał zwrócony
Ekonometryczne modele nieliniowe
Eonomeryczne modele nieliniowe Wyład Doromił Serwa Zajęcia Wyład Laoraorium ompuerowe Prezenacje Zaliczenie EGZAMI 50% a egzaminie oowiązują wszysie informacje przeazane w czasie wyładów np. slajdy. Aywność
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Makroekonomia 1 - ćwiczenia
Makroekonomia 1 - ćwiczenia mgr Małgorzata Kłobuszewska Zajęcia 6 Model klasyczny Plan Założenia modelu: Produkcja skąd się bierze? Gospodarka zamknięta Gospodarka otwarta Stopa procentowa w gospodarce
WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP
Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny
Wykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych
Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego
Zerowe stopy procentowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR
Zerowe sopy procenowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR 111 seminarium BRE-CASE Warszaw awa, 25 lisopada 21 Plan Wprowadzenie Hipoezy I, II, III i IV Próba (zgrubnej)
(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.
Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi
Układ regulacji ze sprzężeniem od stanu
Uład reglacji ze sprzężeniem od san 1. WSĘP Jednym z celów sosowania ład reglacji owarego, zamnięego jes szałowanie dynamii obie serowania. Jeżeli obie opisany jes równaniami san, o dynamia obie jes jednoznacznie
Ćwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 (22.04.2013) Współczynnik przyrosu nauralnego. Koncepcja ludności zasojowej i usabilizowanej. Prawo Loki. Współczynnik przyrosu nauralnego r = U Z L gdzie: U - urodzenia w roku Z - zgony w
Jerzy Czesław Ossowski Politechnika Gdańska. Dynamika wzrostu gospodarczego a stopy procentowe w Polsce w latach
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Poliechnika Gdańska Dynamika wzrosu
dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Model klasyczny podstawowe założenia W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki
Wykład 4: Wzrost gospodarczy II
Wykład 4: Wzrost gospodarczy II Makroekonomia II Zima 2017/2018 - SGH Jacek Suda Stylizowane fakty Kaldora Stylizowane fakty Kaldora Fakt 1: Produkcja per capita i kapitałochłonośc (kapitał per capita)
Makroekonomia I. Jan Baran
Makroekonomia I Jan Baran Model klasyczny a keynesowski W prostym modelu klasycznym zakładamy, że produkt zależy jedynie od nakładów czynników produkcji i funkcji produkcji. Nie wpływają na niego wprowadzone
Model klasyczny. dr Bartek Rokicki. Ćwiczenia z Makroekonomii II. W modelu Keynesa wielkość produkcji określała suma wydatków, np.: Y = C + I + G + NX
Model klasyczny W modelu Keynesa wielkość produkcji określała suma wydatków, np.: Y = C + I + G + NX W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki produkcji (K
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 12. Oczekiwania w makroekonomii. Konsumpcja. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 12. Oczekiwania w makroekonomii. Konsumpcja dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Cel: rola oczekiwań w decyzjach dotyczących konsumpcji oraz inwestycji.
Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji moŝe zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0
Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solow-Swan W modelu lascznm mieliśm do cznienia ze stałą wielością cznniów producji, a zatem bł to model statczn, tór nie poazwał nam dlaczego dan raj rozwija
Konwergencja i nierówności na świecie. Zaawansowana makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Konwergencja i nierówności na świecie. Zaawansowana makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Na ostatnich zajęciach poznaliśmy model pokazujący znaczenie wydatków i podatków rządu Włącznie wydatków
Zaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)
Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
ψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Makroekonomia zaawansowana. Zbiór zadań wraz z odpowiedziami przygotowanie przed egzaminem
Joanna Siwińska-Gorzelak Makroekonomia zaawansowana. Zbiór zadań wraz z odpowiedziami przygotowanie przed egzaminem Zanim przystąpicie Państwo do rozwiązywania zadań, powtórzcie sobie proszę wyprowadzenie
Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski
Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski Model Ramsaya Model Ramsaya w otwartej gospodarce Ograniczenia w kredytowaniu Niedoskonała substytucja kapitału Dyfuzja technologii Prawa autorskie Główna różnica
Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Analityczne reprezentacje sygnałów ciągłych
Analiyczne reprezenacje sygnałów ciągłych Przedsawienie sygnału w posaci analiycznej: umożliwia uproszczenie i unifiację meod analizy, pozwala na prosszą inerpreację nieórych jego cech fizycznych. W eorii
Wpływ rentowności skarbowych papierów dłużnych na finanse przedsiębiorstw i poziom bezrobocia
Wpływ renowności skarbowych papierów dłużnych na inanse przedsiębiorsw i poziom bezrocia Leszek S. Zaremba Sreszczenie W pracy ej wykażemy prawidłowość, kóra mówi, że im wyższa jes renowność bezryzykownych
MAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Inwestycje. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 14. Inwestycje dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Inwestycje a oczekiwania. Neoklasyczna teoria inwestycji i co z niej wynika Teoria q Tobina
WYKŁAD 1 ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO PRZETWARZANIA ENERGII
WYKŁAD 1 ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO RZETWARZANIA ENERGII 1.1. Zasada zachowania energii. unem wyjściowym dla analizy przewarzania energii i mocy w pewnym przedziale czasu jes zasada zachowania energii
Determinanty oszczêdzania w Polsce P r a c a z b i o r o w a p o d r e d a k c j ¹ B a r b a r y L i b e r d y
Deerminany oszczêdzania w Polsce P r a c a z b i o r o w a p o d r e d a k c j ¹ B a r b a r y L i b e r d y W a r s z a w a, 1 9 9 9 nr 28 Prezenowane w serii Rapory CASE sanowiska meryoryczne wyra aj¹
Teoria sterowania 1 Temat ćwiczenia nr 7a: Synteza parametryczna układów regulacji.
eoria serowania ema ćwiczenia nr 7a: Syneza parameryczna uładów regulacji. Celem ćwiczenia jes orecja zadanego uładu regulacji wyorzysując nasępujące meody: ryerium ampliudy rezonansowej, meodę ZiegleraNicholsa
ZATRUDNIENIE A WZROST GOSPODARCZY W TEORII I W RZECZYWISTOŚCI GOSPODARKI POLSKIEJ 1
PRZEGĄD STATSTCZN R. VII ZESZT 200 JERZ CZESŁAW OSSOWSKI ZATRUDNIENIE A WZROST GOSPODARCZ W TEORII I W RZECZWISTOŚCI GOSPODARKI POSKIEJ. MAKROEKONOMICZNE PODSTAW ZAPOTRZEBOWANIA NA PRACĘ Zaporzebowanie
Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk
Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy
Monetarne modele wzrostu
Wyład 6 Monearne odele wzros Plan wyład. Model opyalnego wzros 2. Pieniądz w ni żyeznośi (MIU) 3. Ogranizenie Cash-in-Advane (CIA) 3. CIA nałożone na onspę 3.2 CIA nałożone na apiał 4. Epiryzny związe
Iteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Makroekonomia 1 Wykład 14 Naturalna stopa bezrobocia i krzywa Philipsa
Makroekonomia Wykład 4 Naralna sopa bezrobocia i krzywa hilipsa Gabriela Grokowska Kaedra Makroekonomii i Teorii Handl Zagranicznego Oryginalne badanie hilipsa A. W. hilips (LSE, 958: obserwacja empiryczna
SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE
SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne
EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b
DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH
Franciszek SPYRA ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian URBAŃCZYK Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH. Wsęp Zagadnienie poprawnego
NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CYKLICZNĄ LICZBĄ PRACUJĄCYCH 1
STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 8, vol. 6, no. 9 DOI:.8559/SOEP.8.9. Paweł Dykas Uniwersye Jagielloński w Krakowie, Wydział Zarządzania i Komunikacji Społecznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej pawel.dykas@uj.edu.pl
KURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS EKONOMETRIA Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonomerycznego ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Srona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (ylko jedna jes prawdziwa). Pyanie 1 Kóre z poniższych
WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz
EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa
O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE
MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl
b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Centrum Europejskie Ekonomia. ćwiczenia 7
Centrum Europejskie Ekonomia ćwiczenia 7 Keynesian cross Tomasz Gajderowicz. Rozkład jazdy: Kartkówka Omówienie kartkówki Model Keynesowski Zadania Model Keynesa Produkcja długookresowa a krótkookresowa.
Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 11 Równowaga zewnętrzna i wewnętrzna w gospodarce otwartej Diagram Swana
Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 11 Równowaga zewnętrzna i wewnętrzna w gospodarce otwartej Diagram Swana Leszek Wincenciak Wydział Nauk Ekonomicznych UW 2/26 Plan wykładu: Prosty model keynesowski
Dyskretny proces Markowa
Procesy sochasyczne WYKŁAD 4 Dyskreny roces Markowa Rozarujemy roces sochasyczny X, w kórym aramer jes ciągły zwykle. Będziemy zakładać, że zbiór sanów jes co najwyżej rzeliczalny. Proces X, jes rocesem
ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1
ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,
LOKALNA ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. 1. Definicja 2. Okna 3. Transformacja Gabora. Spis treści
LOKALNA ANALIZA CZĘSOLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Deinicja. Okna 3. ransormacja Gabora Spis reści Analiza czasoo-częsoliościoa sygnału moy Ampliuda.. andrzej 35_m.av -. 3 4 5 6 7 8 9 D 4. 3.5 D 3. DW D3 D4.5..5
LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW. Ćwiczenie 1
POLIECHNIKA WARSZAWSKA INSYU RADIOELEKRONIKI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI LABORAORIUM SYGNAŁÓW I SYSEMÓW Ćwiczenie ema: MODELE CZĘSOLIWOŚCIOWE SYGNAŁÓW Opracowała: mgr inż. Kajeana Snope Warszawa Cel ćwiczenia
Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb)
Swap (IRS) i FRA Przykład. Sandardowy swap procenowy Dealer proponuje nasępujące sałe sopy dla sandardowej "plain vanilla" procenowej ransakcji swap. ermin wygaśnięcia Sopa dla obligacji skarbowych Marża
4.4. Obliczanie elementów grzejnych
4.4. Obiczanie eemenów grzejnych Po wyznaczeniu wymiarów przewodu grzejnego naeży zaprojekować eemen grzejny, a więc okreśić wymiary skręki grzejnej czy eemenu faisego (wężownicy grzejnej, meandra grzejnego).
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres