Egzamin test GRUPA A (c) maleje na przedziale (1, 6). 0, ,5 1

Transkrypt

1 Matematyka dla Biologów Warszawa, stycznia 04. Imię i nazwisko:... Egzamin test GRUPA A nr indeksu:... Przy każdym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy fałszywy (NIE). Za każde pytanie można otrzymać 0,, lub 7 punktów.. Jacek i Placek zaciągnęli w pewnym banku kredyty w tej samej wysokości zł, o tym samym oprocentowaniu nominalnym oraz na ten sam okres 0 lat (60 miesięcy). Jacek zdecydował się spłacać kredyt w ratach równych, a Placek w ratach malejących. (a) Pierwsza rata Jacka jest wyższa niż Placka; (b) Suma wszystkich odsetek, które Placek zapłaci bankowi, będzie mniejsza od sumy odsetek, które zapłaci bankowi Jacek; (c) Jeśli oba kredyty zostałyby zaciągnięte na zł lub więcej, to wówczas ostatnia rata zapłacona przez Placka byłaby wyższa niż ostatnia rata zapłacona przez Jacka.. Na rysunku przedstawiono wykres pochodnej f (x) pewnej funkcji f : (0,5, 6,5). Prawdą jest, że funkcja f (a) osiąga minimum lokalne dla x = 6; (b) osiąga maksimum lokalne dla x = 4; 4 5 (c) maleje na przedziale (, 6). 0,5 6 6,5. Rozstrzygnąć czy prawdziwe są następujące zdania. (a) lim n n(n + )(n + ) 6 n 6 = ; (b) Dana jest liczba rzeczywista a = 5, 5(55). Wówczas 9a = 50; (c) Funkcja f : jest ciągła. Jeśli f(0) = oraz f() = 5, to istnieje liczba c (0, ), taka że f(c) = π. 4. Rozstrzygnąć czy prawdziwe są następujące zdania (a) Odległość między punktami A = (, ) i B = (, ) jest taka sama w metryce euklidesowej i miejskiej; (b) Wykresem funkcji y = 5 x w skali log-log jest linia prosta; (c) Macierz A ma dwa wiersze i trzy kolumny, zaś macierz B ma pięć wierszy i dwie kolumny. Wówczas mnożenie macierzy A B jest wykonalne. 5. W wykopaliskach znaleziono fragment kości zwierzęcej zawierający 64% izotopu węgla 4 C w stosunku do jego stężenia w atmosferze. Metodą datowania izotopem węgla 4 C (czas połowicznego rozpadu izotopu węgla 4 C wynosi τ = 5700 lat, proszę także pamiętać, że 0,64 = 0 6 ) ln 0,64 (a) można ocenić wiek kości na około 5700 ln ; (b) można ocenić wiek kości na około 5700 ( 6 ln 0 ln (c) nie znając wielkości próbki nie da się ocenić wieku znaleziska. ) ;

2 6. Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji F (x). Rozważmy równanie różnicowe x n+ = F (x n ). Na podstawie rysunku możemy stwierdzić, że poniższe zdania są prawdziwe (a) Punkt x jest niestabilnym punktem stacjonarnym tego równania; (b) Jeżeli x > x, to x 04 > x; (c) Punkt x jest lokalnie asymptotycznie stabilnym punktem stacjonarnym tego równania. 7. Dana jest funkcja f(x) = x e x. Czy prawdą jest, że (a) f (x) = e x ; (b) funkcja f jest wklęsła dla wszystkich x ; (c) funkcja f ma maksimum w punkcie x =. 8. Dana jest funkcja f(x) = sin(x + ). (a) / / f(x)dx > 0; (b) Pole pod wykresem funkcji f na przedziale [ /, /(π/ )] wynosi /; (c) Funkcja pierwotna dla funkcji f(x) = sin(x + ) ma postać F (x) = cos(x + ) + C = (a) ln e 4 ; (b) ( ) log 8; (c) i Czy wykres przedstawiony na rysunku dobrze przybliża wykres funkcji, której wzór został napisany poniżej danego rysunku? 0 0 f(x) = (x ) f(x) = log (x + ) 0 f(x) = x (a) (b) (c)

3 . Na rysunku przestawiono wykres funkcji F (x) = (x )(x )(x 4). Rozważmy model zadany równaniem różniczkowym ẋ = F (x). (a) Jeśli x(0) (, 4), to wówczas rozwiązanie x(t) zbiega do ; (b) Punkt stacjonarny x = jest lokalnie asymptotycznie stabilny; (c) Równanie to ma trzy dodatnie punkty stacjonarne. F (x) 0 4 x. Niech ϕ : [0, ], ϕ (t) = ( 4t( t), t(t ) ) oraz ϕ : [0, ], ϕ (t) = ( 6t( t), t(t ) ) będą dwiema parametryzacjami tej samej krzywej przedstawionej na rysunku obok. (a) ϕ (/) odpowiada punktowi A; (b) W parametryzacjach ϕ i ϕ długości tej krzywej są sobie równe; (c) ϕ () = ϕ (). 0 A. Rozpatrzmy zdanie: Jeśli pada deszcz, to ubieram ciepła kurtkę lub biorę parasolkę. Zaprzeczeniem tego zdania jest (a) Pada deszcz i nie ubieram ciepłej kurtki lub nie biorę parasolki ; (b) Jeśli pada deszcz, to nie ubieram ciepłej kurtki i nie biorę parasolki ; (c) Pada deszcz i nie ubieram ciepłej kurtki i nie biorę parasolki. 4. Pochodne cząstkowe funkcji f(x, y, z) = x sin z e y (a) f f (, 0, 0) = ; (b) (, 0, 0) = ; (c) x z w punkcie (, 0, 0) są równe f (, 0, 0) =. y 5. Czy zaprzeczeniem zdania: Wszystkie koty sa czarne lub pręgowane jest zdanie: (a) Znam kota, który nie jest pręgowany ; (b) Pewien kot nie jest czarny, a jest biały ; (c) Pewien kot jest biały.

4 Grupa A

5 Matematyka dla Biologów Warszawa, stycznia 04. Imię i nazwisko:... Egzamin pytania nr indeksu:... GRUPA A Przy każdym z pytań wpisz odpowiedź oraz dodaj zwięzłe uzasadnienie podanej odpowiedzi. Uzasadnieniem może być powołanie się na odpowiednie twierdzenie lub fakt znany z ćwiczeń lub wykładu lub odpowiednie (krótkie) rachunki. Za każde pytanie można otrzymać od 0 do 0 punktów. Pytanie. W zbiorze A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8} wprowadzono relacj R w ten sposób,»e liczby a A i b A s w relacji R je±li b/a jest liczb caªkowit. Czy ta relacja jest relacj porz dku? Czy mo»na relacj R uzupeªni, tworz c relacj Q, w ten sposób by relacja Q byªa relacj porz dku liniowego? Je±li tak, to trzeba poda, które elementy zbioru A musz by ze sob w relacji Q (relacj mo»na narysowa ). Pytanie. Obliczy granic g = f : okre±lona wzorem jest ci gªa? n +. Dla jakiej warto±ci parametru a funkcja 6n + 4n + x + a x f(x) = x + g x < lim n +

6 Pytanie. Jaka jest najwi ksza warto± funkcji f(x) = 4 x4 x + 04 na przedziale [0, 5]? Pytanie 4. Jaka jest warto± ±rednia funkcji x na przedziale [, 4]? Pytanie 5. Ci gªy model logistyczny zadany jest równaniem ( N(t) = rn(t) N(t) K Wyja±ni jaka jest biologiczna interpretacja parametru K. Jak zachowuje si rozwi zanie tego równania je±li, z jaki± wzgl dów, N(0) > K? ).

7 . (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE;. (a) TAK; (b) NIE; (c) TAK;. (a) TAK; (b) TAK; (c) TAK; 4. (a) TAK; (b) NIE; (c) NIE; 5. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 6. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK; 7. (a) NIE; (b) NIE; (c) NIE; 8. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 9. (a) TAK; (b) NIE; (c) TAK; 0. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK;. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK;. (a) NIE; (b) TAK; (c) TAK;. (a) NIE; (b) NIE; (c) TAK; 4. (a) NIE; (b) TAK; (c) NIE; 5. (a) NIE; (b) NIE; (c) NIE; Odpowiedzi Grupa A Grupa A