Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Piotr Koczenasz Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Leszka Pacholskiego Wrocław, czerwiec 2004 r.

2

3 Słowo wstępne Dlaczego ludzie uczą się matematyki? Aby nauczać matematyki innych. H. Steinhaus Praca niniejsza przeznaczona jest dla studentów I roku Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego, a w szczególności dla słuchaczy obowiązkowego w pierwszym semestrze wykładu Logika dla informatyków. Obejmuje ona większość materiału objętego programem kursu (za wyjątkiem teorii unifikacji oraz elementów algebry abstrakcyjnej). Pominięcie tych ważnych działów jest wynikiem obserwacji, z których wynika, że obie wymienione wyżej dziedziny pozostają poza zasięgiem percepcji przeciętnego studenta w trakcie pierwszego semestru studiów, co więcej, zadania ich dotyczące nie pojawiają się zwykle na egzaminie. Uwaga studenta musi w głównej mierze skupić się na pozostałych punktach programu, a więc na klasycznym rachunku zdań, rachunku funkcji zdaniowych, teorii zbiorów, teorii mocy oraz zbiorach uporządkowanych. Porusza się przy tym kwestie dość elementarne. Trudność kryje się zdaniem autora tej pracy nie w zawiłości omawianych zagadnień, a w swego rodzaju szoku, który doznaje student na widok mnóstwa pojęć, definicji i tajemniczych symboli, który znaczenia nie pojmuje. A student, który nie rozumie teorii, nie rozwiąże samodzielnie zadań, ćwiczenia z przedmiotu będą dla niego stratą czasu, nigdy też nie nauczy się ścisłego formułowania myśli, a zdobycie umiejętności poprawnego wnioskowania stanie się dla niego nieosiągalne. Aby zapobiec takiemu biegowi wypadków, w pracy niniejszej można znaleźć dokładne, możliwie proste i jasne omówienie symoboliki oraz większości licznych pojęć, z jakimi może zetknąć się słuczacz wykładu Logika dla informatyków. Znakomita większość z nich jest zilustrowana przykładem, mającym zobrazować dane pojęcie w działaniu. W pracy tej znaleźć można rozwiązania wielu zadań, które pojawiają się na ćwiczeniach z przedmiotu. Zostały one tak dobrane, by zilustrować sposób rozwiązywania zadań danego typu. Rozwiązania często są przesadnie szczegółowe, ale jak wiadomo najtrudniej pisze się o rzeczach prostych. Trzeba tutaj przestrzec przed nazbyt pochopnym korzystaniem na ćwiczeniach z gotowych rozwiązań. W opinii autora taka droga na skróty skończyć się może w jeden sposób oceną niedostateczną z egzaminu semestralnego. Można tu znaleźć także rozwiązania zadań trudniejszych, wymagających rzetelnego namysłu i odrobiny wyobraźni. Większość jednak można rozwiązać zupełnie automatycznie korzystając z definicji. Dlatego tak ważne jest, aby je znać i rozumieć. Zadaniem tej pracy jest to uczynić możliwie łatwym. Piotr Koczenasz Wrocław, czerwiec 2004 r.

4 4

5 Spis treści 1 Rachunek zdań Wartości logiczne Formuły logiczne Definicja indukcyjna zbioru formuł rachunku zdań Wartość logiczna formuł Metoda zerojedynkowa sprawdzania tautologii Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań Reguły wnioskowania Funkcje boolowskie i systemy spójników Rachunek predykatów Funkcje zdaniowe jednej zmiennej Kwantyfikatory Składnia rachunku kwantyfikatorów Zmienne związane i wolne Kwantyfikatory o ograniczonym zasięgu Rachunek funkcji zdaniowych Zasada indukcji zupełnej Teoriomnogościowe ujęcie liczb naturalnych Aksjomatyczne ujęcie liczb naturalnych Zasada indukcji zupełnej Teoria zbiorów O potrzebie aksjomatyzacji teorii mnogości Aksjomaty teorii mnogości Własności zbiorów Dopełnienie zbioru Operacje nieskończone na zbiorach Zbiór potęgowy Wzór włączeń i wyłączeń Relacje Para uporządkowana Iloczyn kartezjański Produkt uogólniony Relacje Złożenie relacji. Relacja odwrotna Rodzaje relacji Funkcje jako relacje Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne Złożenie funkcji. Funkcja odwrotna

6 6 SPIS TREŚCI 5.10 Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję Relacje równoważności Teoria mocy O nieskończoności Równoliczność zbiorów. Liczby kardynalne Funkcja charakterystyczna Twierdzenie Cantora Bernsteina Zbiory skończone Zbiory przeliczalne Twierdzenie Cantora Zbiory nieprzeliczalne Zbiory uporządkowane Relacje częściowo porządkujące Quasi-porządki Diagramy Hassego Element największy. Element najmniejszy Elementy maksymalne. Elementy minimalne Pojęcia dualne Zbiory liniowo uporządkowane Izomorfizm porządkowy Kresy Dobry porządek Słowa

7 Rozdział 1 Rachunek zdań Prawda w odróżnieniu od kłamstwa nie musi być prawdopodobna. Kumor 1.1 Wartości logiczne Za zdanie będziemy uważać dowolne stwierdzenie, o którym można powiedzieć, że jest albo prawdziwe, albo fałszywe, i które nie może być jednocześnie i prawdziwe, i fałszywe. Powiedzenie studenci miewają trudności ze zdaniem egzaminu jest zdaniem (jest bowiem albo prawdziwe, albo nie, i powiedzenie o nim, że jest prawdziwe lub fałszywe, ma sens), natomiast sformułowanie czy logika jest trudna? zdaniem nie jest, bowiem nie można sensownie wypowiedzieć się o prawdziwości pytania. W zgodzie z intuicją będziemy przypisywać zdaniom wartość logiczną prawdy lub fałszu. System taki nazywamy logiką dwuwartościową. P r z y k ł a d 1.1. Rozpatrzmy następujące wypowiedzenie w pewnej wiosce jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się sami. Czy to wypowiedzenie (będące w sensie gramatyki języka polskiego zdaniem oznajmującym) jest zdaniem w sensie podanej wyżej definicji? Na pozór tak. Spróbujmy jednak odpowiedzieć na pytanie, kto goli owego golarza. Jeżeli goli się on sam, to nie może się sam golić, bo goli on tylko tych, którzy nie golą się sami. Jeśli jednak nie goli się sam, to goli się sam, bo właśnie goli on właśnie tych, którzy nie golą się sami. Rozumowanie to dowodzi tezy, że powyższa wypowiedź nie jest ani prawdziwa, ani fałszywa, stwierdzenie to nie jest zdaniem i nie ma żadnego sensu. 1.2 Formuły logiczne Formuły rachunku zdań tworzy się z danych zdań, łącząc je za pomocą spójników zdaniowych i, lub, nie, jeżeli oraz wtedy i tylko wtedy. Każdy sensowny napis, który da się utworzyć ze zmiennych i spójników będziemy uważać za formułę rachunku zdań. Formuły będziemy oznaczać literami ϕ, ψ,... Wartość logiczna formuł nie ϕ, ϕ i ψ, ϕ lub ψ, jeżeli ϕ, to ψ, ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy ψ zależy tylko od wartości logicznej formuł ϕ i ψ, a nie od ich sensu. Negacja. Na oznaczenie słowa nie przyjmiemy znak negacji. Zgodnie z intuicją wyrażenie ϕ jest prawdziwe, gdy ϕ jest fałszywe, natomiast jest fałszywe, gdy ϕ jest prawdziwe.

8 8 Rachunek zdań Koniunkcja. Na oznaczenie słowa i przyjmiemy znak koniunkcji. Zgodnie z intuicją wyrażenie ϕ ψ (zwane iloczynem logicznym zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe, gdy zarówno ϕ, jak i ψ (zwane czynnikami), są prawdziwe. Alternatywa. Na oznaczenie słowa lub przyjmiemy znak alternatywy. Zgodnie z intuicją wyrażenie ϕ ψ (zwane sumą logiczną zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań ϕ, ψ (zwanych składnikami) jest prawdziwe. Implikacja. Na oznaczenie słowa jeżeli przyjęliśmy znak implikacji. Wyrażenie jeżeli ϕ, to ψ jest fałszywe, gdy ϕ (zwane poprzednikiem) jest prawdziwe, a ψ (zwane następnikiem) fałszywe; w pozostałych trzech przypadkach jest prawdziwe. Mówimy, że z prawdy tylko prawda wynika, natomiast z fałszu zarówno prawda, jak i fałsz wynika. Intuicyjnie implikacja jest prawdziwa, gdy poprzednik daje się wywnioskować z poprzednika. Jednakże implikacja nie jest tożsama z wnioskowaniem. Zdania wchodzące w skład implikacji mogą nie mieć ze sobą żadnego związku, ponadto implikacja jest prawdziwa nawet wtedy, gdy oba te zdania są fałszywe. Wnioskowanie natomiast polega na wyprowadzeniu nowego zdania prawdziwego z innego zdania, uznanego wcześniej za prawdziwe. Zapis ϕ ψ oznacza, że ϕ jest warunkiem wystarczającym dla ψ, natomiast ψ jest warunkiem koniecznym dla ϕ. Równoważność. Na oznaczenie frazy wtedy i tylko wtedy, gdy przyjemiemy znak równoważności. Zgodnie z intuicją wyrażenie ϕ ψ (zwane równoważnością zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe wtedy, gdy oba jego człony mają taką samą wartość logiczną (tzn. oba równocześnie są prawdziwe lub fałszywe). Zapis ϕ ψ oznacza, że ϕ jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla ψ. 1.3 Definicja indukcyjna zbioru formuł rachunku zdań Nie będziemy obecnie zajmować się zdaniami w rodzaju Pinokio ma długi nos czy obecny król Polski ma sztuczną brodę. Zastąpimy je zmiennymi zdaniowymi p, q, r,... z nieskończonego zbioru V ; zmienne te będą mogły mieć wartość 1 (odpowiadającej prawdzie) lub 0 (odpowiadającej fałszowi). Wprowadzimy teraz (w miejsce intuicyjnej) formalną definicję indukcyjną zbioru formuł rachunku zdań. Dostarczy nam ona wygodnego narzędzia służacego do dowodzenia twierdzeń dotyczących rachunku zdań. Definicja 1.1. Niech V = {p, q, r,...} będzie nieskończonym zbiorem zmiennych zdaniowych, zaś Σ = {,,,,, } zbiorem spójników. Zbiorem F formuł rachunku zdań będziemy nazywać najmniejszy zbiór napisów złożony ze zmiennych ze zbioru V, spójników z Σ i nawiasów, spełniający następujące warunki: 1. V F 2. (a) F, (b) jeżeli ϕ F, to ϕ F, (c) jeżeli ϕ, ψ F, to każda z formuła postaci ϕ ψ, gdzie {,,, }, należy do F. Sens tej definicji jest następujący: z 1. wynika, że napis złożony z pojedynczej zmiennej jest formułą. Zasada wyrażona w punkcie 2. ilustruje sposób budowania formuły złożonej

9 1.4 Wartość logiczna formuł 9 z jednej lub dwóch formuł oraz wybranego spójnika logicznego; dodatkowo twierdzi się, że napis złożony ze spójnika fałszu jest formułą. P r z y k ł a d 1.2. Niech V = {p, q, r,...}. W zgodzie z punktem 1 powyższej definicji twierdzimy, że wyrażenia p, q, r są formułami rachunku zdań. Z 2b wynika, że zapis q jest forumułą. Korzystając z 2c stwierdzamy, że również napis p ( q) jest formułą. Stosując ponownie 2c otrzymujemy kolejne formuły: (p ( q)) r lub np. (p ( q)) itd. W powyższym przykładzie musieliśmy zastosować nawiasy, celem uniknięcia niejednoznaczności w sposobie rozbioru formuły. Niekiedy nawiasy opuszczamy, zakładając następującą kolejność wiązania (od najsilniejszego do najsłabszego):,,,, i przyjmując, że i łączą w lewo (tj. p q s znaczy (p q) s), zaś i łączą w prawo (tj. p q s znaczy p (q s). Powiedzenie, że dany spójnik łączy w lewo (w prawo) można zrozumieć w ten sposób, że mając ciąg zdań połączonych danym spójnikiem zdaniowym nawiasy należy zacząć stawiać od lewej (prawej) strony. P r z y k ł a d 1.3. Niech ϕ oznacza formułę p q r s. Negacja wiąże najsilniej, możemy więc zapisać tę formułę w następujący sposób: p ( q) r s. Drugim co do siły wiązania spójnikiem jest funktor koniunkcji otrzymujemy (p ( q) r) s. Funktor alternatywy łączy w lewo, zatem ostatecznie ϕ jest równoważne ((p ( q)) r) s. 1.4 Wartość logiczna formuł Definicja 1.2. Zbiór wartości logicznych B = {0, 1} zawiera dwa elementy: 0 na określenie fałszu i 1 na określenie prawdy. Wartościowanie zmiennych to funkcja σ: V B. Intuicyjnie wartościowanie to przypisanie wartości logicznych (0 lub 1) poszczególnym zmiennym. Zdefiniujemy obecnie funkcję w σ przyporządkowującą formułom, dla danego wartościowania zmiennych σ, jedną z wartości logicznych prawdy lub fałszu. Jeżeli wartościowanie zmiennych jest ustalone w danym kontekście i taki zapis nie prowadzi do nieporozumień, będziemy pomijać symbol σ i zamiast w σ pisać w. Definicja funkcji w będzie przypominać sposób konstrukcji zbioru formuł r. z. Niech V oznacza zbiór zmiennych występujących w formule, natomiast σ niech będzie wartościowaniem tych zmiennych. Oczywiście dla każdej zmiennej v V zachodzi w(v) = σ(v). Nie jest także zaskoczeniem, że dla każdego wartościowania σ mamy w( ) = 0. Sposób obliczania wartości logicznej formuł złożonych obrazuje poniższa tabela: w( ) = 0 w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) w(ϕ) w( ϕ) w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ)

10 10 Rachunek zdań Zauważmy, że jeśli symbole 0 i 1 potraktować jako liczby naturalne, to w( ϕ) = 1 w(ϕ) w(ϕ ψ) = w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ψ) = w(ϕ) + w(ψ) gdzie + oznacza symbol dodawania tożsamy ze zwykłym dodawaniem, za wyjątkiem sumy 1 + 1, która uznajemy za równą 1. Obserwacja ta pozwala zrozumieć genezę nazw iloczynu i sumy logicznej. Formuła jest: spełniona, jeżeli, dla danego wartościowania zmiennych, ma wartość logiczną 1, spełnialna, jeżeli istnieje wartościowanie, przy którym ma wartość logiczną 1, tautologią, jeśli ma wartość 1 dla każdego wartościowania zmiennych (lub co na jedno wychodzi nie istnieje wartościowanie, dla którego ma wartość 0) fałszywa, jeżeli ma wartość 0 dla każdego wartościowania. O formule spełnionej przez dane wartościowanie będziemy niekiedy mówić, że jest prawdziwa przy tym wartościowaniu, natomiast formuła nie spełniona będzie fałszywa. 1.5 Metoda zerojedynkowa sprawdzania tautologii Istnieje nieskończenie wiele tautologii, z których wiele znano już w czasach starożytnych. Stanowią one w logice odpowiednik np. tożsamości arytmetycznych czy trygonometrycznych, znanych z matematyki. Aby dowieść, że dana formuła jest tautologią, można poddać ją sprawdzeniu metodą zerojedynkową. W tym celu należy sprawdzić, czy wartość logiczna badanej formuły jest równa 1 dla każdego możliwego wartościowania zmiennych w niej występujących. P r z y k ł a d 1.4. Rozważmy następującą tautologię (p q) ((p q) (q p)) opisującą związek równoważności z implikacją p q p q p q q p (p q) (q p) (p q) ((p q) (q p)) Pierwsze dwie kolumny tabeli zawierają wszystkie możliwe wartości logiczne zmiennych p i q. Korzystając z zamieszczonych wcześniej tabel opisujących znaczenie spójników logicznych wyznaczamy wartości w pozostałych kolumnach (kolumnę trzecią wyznaczamy korzystając z tabelki dla równoważności, czwartą i piątą implikacji, szóstą na podstawie kolumn 4 i 5 oraz tabelki dla iloczynu logicznego, natomiast siódmą na podstawie kolumn 3 i 6 oraz tabelki dla równoważności). Badana formuła znajduje się w kolumnie 7. W kolumnie tej znajdują się same jedynki; oznacza to, że dla dowolnie obranej wartości zmiennych logicznych zmiennych występujących w tej formule ma ona wartość 1, a więc jest tautologią. Sprawdzenie, czy dana formuła jest tautologią, w podany wyżej sposób co prawda jest proste i zawsze prowadzi do celu, ale jest procesem żmudnym. Dlatego zamiast pracowicie

11 1.6 Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań 11 sprawdzać wartość logiczną formuły dla każdego wartościowania zmiennych, korzystniej jest rozważyć takie wartościowania, dla których formuła staje się fałszywa. Jeśli takie wartościowania istnieją, badana formuła w oczywisty sposób nie jest tautologią. Natomiast jeśli założenie istnienia wartościowania, dla którego formuła jest fałszywa, prowadzi do sprzeczności, stwierdzamy, że takie wartościowanie nie istnieje, a zatem badana formuła jest tautologią. P r z y k ł a d 1.5. Rozważmy następującą formułę [(p q) p] q. Załóżmy, że istnieje wartościowanie σ, dla którego formuła ta jest fałszywa. Ponieważ ma ona charakter implikacji, jest to możliwe tylko wówczas, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Zatem w(q) = 0 (skąd σ(q) = 0) oraz w((p q) p) = 1. Ale wobec σ(q) = 0 p q jest równoważne p i poprzednik przyjmuje postać koniunkcji p p, która jest fałszywa dla każdej wartości p. Założyliśmy jednak uprzednio, że poprzednik jest prawdziwy. Nie może on być jednak przy tym samym wartościowaniu zmiennych i prawdziwy, i fałszywy. Przekonaliśmy się, że założenie istnienia wartościowania, dla którego badana formuła jest fałszywa, prowadzi do sprzeczności. Zatem wartościowanie takie nie może istnieć i formuła jest tautologią. 1.6 Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań Jak już wcześniej zauważyliśmy, definicja zbioru F formuł r. z. jest definicją indukcyjną. Pociąga to za sobą natychmiast fakt, że w zbiorze tym prawdziwa jest następująca zasada indukcji: Twierdzenie 1.3. Niech własność φ będzie określona dla formuł rachunku zdań ze zbiorem zmiennych V. Jeżeli 1. zachodzi φ(v) dla każdej zmiennej v V 2. (a) zachodzi φ( ) (b) dla dowolnej formuły ϕ prawdziwość φ(ϕ) implikuje φ( ϕ) (c) dla dowolnych formuł ϕ i ψ prawdziwość φ(ϕ) i φ(ψ) implikuje φ(ϕ ψ), φ(ϕ ψ), φ(ϕ ψ) oraz φ(ϕ ψ) wówczas własność φ przysługuje wszystkim formułom rachunku zdań. P r z y k ł a d 1.6. Posługując się powyższa zasadą indukcji udowodnimy, że zdefiniowana wcześniej funkcja w przyporządkowuje każdej formule rachunku zdań wartość logiczną (co być może wydaje się oczywiste). Niech σ będzie danym wartościowaniem zmiennych ze zbioru V, natomiast φ(ϕ) będzie prawdziwe, jeśli funkcja w nadaje formule ϕ jakąś wartość logiczną. Zgodnie z definicją w(v) = σ(v), zatem φ(v) zachodzi dla każdej zmiennej v V i warunek 1 jest spełniony. Warunek 2a jest w sposób trywialny spełniony, bowiem w definicji w założono wprost, że w( ) = 0. Weźmy teraz dowolną formułę ϕ i załóżmy, że zachodzi φ(ϕ). Oznacza to, że funkcja w określa wartość logiczną dla tej formuły. Jeśli w(ϕ) = 0, to zgodnie z definicją w w( ϕ) = 1, natomiast w przypadku przeciwnym (tj. gdy w(ϕ) = 1) w( ϕ) = 0. Zatem z założenia prawdziwości φ(ϕ) wynika prawdziwość φ( ϕ), co dowodzi warunku 2b. Dla dowodu 2c weźmy dowolne formuły ϕ i ψ i załóżmy, że zachodzi φ(ϕ) i φ(ψ). Oznacza to, że funkcja w określa wartość logiczną formuł ϕ i ψ. Podobnie jak wyżej, na podstawie znajomości w(ϕ) i w(ψ) potrafimy określić wartość w(ϕ ψ), w(ϕ ψ), w(ϕ ψ), w(ϕ ψ). Zatem z założenia prawdziwości w(φ(ϕ)) i w(φ(ψ)) wynika prawdziwość φ(ϕ ψ), φ(ϕ

12 12 Rachunek zdań ( p) p p p p p p p podwójne przeczenie ( oznacza zdanie prawdziwe) p p p p (p q) (q p) przemienność (p q) (q p) (p q) (q p) [(p q) r] [p (q r)] [(p q) r] [p (q r)] łączność [p (q r)] [(p q) (p r)] rozdzielność [p (q r)] [(p q) (p r)] (p q) ( p q) (p q) ( p q) prawa De Morgana p q q p p q p q [(p r) (q r)] [(p q) r] [(p q) (p r)] [(p (q r)] (p q) [(p q) (q p)] zamiana równoważności na implikacje (p q) [(p q) ] sprowadzenie do sprzeczności Tabela 1.1: Tautologie rachunku zdań ψ), φ(ϕ ψ) oraz φ(ϕ ψ), co kończy dowód, pokazując, że własność φ przysługuje wszystkim formułom rachunku zdań, co jest równoważne ze stwierdzeniem, że funkcja w określona jak wyżej przyporządkowuje wartość logiczną każdej formule rachunku zdań. P r z y k ł a d 1.7. Pokazać przez indukcję, że dla każdej formuły ϕ, zbudowanej ze zmiennych p, q oraz spójnika, można wybrać ze zbioru {1, p, q, (p q), (q p), (p q)} (1) taką formułę ψ, że ϕ ψ jest tautologią. Niech f(ϕ), gdzie ϕ jest formułą zbudowaną ze zmiennych p, q oraz spójnika, oznacza taką formułę ze zbioru (1), że ϕ f(ϕ) jest tautologią. Rozważmy dowolną formułę ϕ niezawierającą spójnika. Ma ona postać p lub q. W sposób trywialny f(ϕ) = p lub, odpowiednio, f(ϕ) = q. Weźmy teraz dowolne formuły ϕ 1, ϕ 2, o których wiemy, że można wybrać ze zbioru (1) takie formuły ψ 1, ψ 2, że ϕ 1 ψ 1 i ϕ 2 ψ 2 są tautologiami. Pokażemy, że można wybrać ze

13 1.6 Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań 13 zbioru (1) taką formułę ϕ, że (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ jest tautologią (innymi słowy zdefiniujemy f(ϕ)). 1. f(ϕ 1 ) = 1. Wówczas ϕ 1 ϕ 2 jest równoważne ϕ 2 i f(ϕ) = f(ϕ 2 ) (f(ϕ 2 ) znamy z założenia). 2. f(ϕ 2 ) = 1. Wówczas ϕ 1 ϕ 2 jest tautologią i f(ϕ) = f(ϕ 1 ) = p. Wówczas: (a) jeżeli f(ϕ 2 ) = p, to ϕ 1 ϕ 2 jest równoważne p p i f(ϕ) = 1 (b) jeżeli f(ϕ 2 ) = q, to ϕ 1 ϕ 2 jest równoważne p q i f(ϕ) = (p q) (c) jeżeli f(ϕ 2 ) = (p q), to ϕ 1 ϕ 2 jest równoważne p (p q) i f(ϕ) = (p q) (d) jeżeli f(ϕ 2 ) = (q p), to ϕ 1 ϕ 2 jest równoważne p (q p) i f(ϕ) = 1 (e) jeżeli f(ϕ 2 ) = (p q), to ϕ 1 ϕ 2 jest równoważne p (p q) i f(ϕ) = 1 Rozpatrzenie pozostałych 4 przypadków pozostawiamy czytelnikowi. p (p q) (p q) p (p ) p sprowadzenie do sprzeczności [p (p q)] q modus ponendo ponens [(p q) q)] p modus tollendo tollens [(p q) p] q modus ponendo tollens [(p q) (q r)] (p r) [(p q) (q r)] (p r) przechodniość (p q) [(p r) (q r)] (p q) [(p r) (q r)] (p q) [(q r) (p r)] Tabela 1.2: Implikacje logiczne P r z y k ł a d 1.8. Pokazać, że dla każdej formuły zdaniowej zbudowanej ze zmiennych zdaniowych oraz spójników,,,, liczba wystąpień zmiennych jest o 1 większa od liczby wystąpień binarnych spójników zdaniowych. Jest to oczywiście prawdą dla formuły zbudowanej z pojedynczej zmiennej. Jeżeli liczba wystąpień zmiennych w formule ϕ jest o 1 większa od liczby wystąpień w tej formule binarnych spójników zdaniowych, to własność taka przysługuje także formule ϕ, ponieważ po dodaniu do formuły ϕ spójnika negacji nie zmienia się ani liczba wystąpień zmiennych, ani liczba wystąpień binarnych spójników zdaniowych. Niech z(ϕ) oznacza liczbę wystąpień zmiennych w formule ϕ, a s(ϕ) liczbę wystąpień binarnych spójników zdaniowych w tej formule.

14 14 Rachunek zdań Niech teraz formuły ϕ i ψ będa takie, że liczba wystąpień zmiennych w każdej z nich jest o 1 większa od liczby wystąpień w nich binarnych spójników zdaniowych, tj. z(ϕ) = s(ϕ) + 1 oraz z(ψ) = s(ψ) + 1. Rozważmy formułę ϕ ψ, gdzie {,, }. Widać, że z(ϕ ψ) = z(ϕ) + z(ψ) = s(ϕ) s(ψ) + 1, natomiast s(ϕ ψ) = s(ϕ) s(ψ). Ostatecznie z(ϕ ψ) = (s(ϕ) s(ψ)) + 1 = s(ϕ ψ) + 1. Na mocy zasady indukcji w zbiorze formuł rachunku zdań stwierdzamy, że rozważana własność przysługuje wszystkim formułom rachunku zdań. 1.7 Reguły wnioskowania Twierdzenia matematyczne mają na ogół postać implikacji. Dowodzi się ich następująco: mając pewien zbiór zdań, zwanych założeniami lub przesłankami p 1, p 2,..., p n uznaje się je za prawdziwe i dołącza do nich nowe zdanie zwane wnioskiem lub konkluzją, które wynika z nich zgodnie z prawami logiki. Reguła wnioskowania q p 1, p 2,..., p n q jest poprawna wtedy i tylko wtedy, gdy formuła p 1 p 2... p n q jest tautologią. Najbardziej podstawową regułą dowodzenia jest następująca reguła: p, p q q zwana regułą odrywania (modus ponens). Sens jej jest następujący: jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p oraz implikację p q, to możemy też uznać za prawdziwe zdanie q. Definicja 1.4. Załóżmy, że dany jest pewien zbiór założeń oraz wniosek q. Dowodem formalnym zdania q jest ciąg p 1, p 2,..., p n, q, składający się ze zdań, z których każde jest założeniem, tautologią lub wnioskiem z poprzednich wyrazów, powstałym przy użyciu jednej z reguł wnioskowania. P r z y k ł a d 1.9. W półgodzinnym programie publicystycznym Minuta prawdy odbyła się debata z udziałem polityków na temat bieżącej sytuacji społeczno gospodarczej. Przedstawiciel jednej z partii stwierdził, że albo Polska nie wejdzie do Unii Europejskiej, albo jeżeli cukier będzie na kartki Niemcy wykupią całą ziemię w Polsce (na hodowlę eksportowego buraka cukrowego). W połowie zdania przerwał mu zwolennik UE, który stwierdził, że jeśli Polska wejdzie do Unii, to cukier na pewno nie będzie na kartki. Jeszcze nie zamknął ust, kiedy grono jego przeciwników zgodnym chórem oznajmiło, że jeśli Niemcy wykupią ziemię w Polsce, to cukier z całą pewnością będzie na kartki. Na koniec przedstawiciel koalicji rządzącej zapowiedział, że jeśli cukier nie będzie na kartki, to Niemcy wykupią całą ziemię w Polsce, gdyż w wyniku nadprodukcji polskim rolnikom nie opłaci się jej obsiewać.

15 1.7 Reguły wnioskowania 15 Co zdezorientowany widz może wywnioskować z tego programu? Otóż, jeśli oglądani politycy mieli racje, to Polska nie wejdzie do UE, a cukier będzie na kartki (jak widać, politycy nie zawsze mają rację). Zagadką natomiast pozostaje, czy Niemcy wykupią całą ziemię w Polsce. Przeprowadzimy teraz formalny dowód tego stwierdzenia. Oznaczmy przez p zdanie Polska wejdzie do UE, przez q zdanie cukier będzie na kartki, przez r zdanie Niemcy wykupią całą ziemię w Polsce. Przyjmiemy następujący zbiór założeń p 1, p 2, p 3, p 4 (wynikający z treści zadania): p 1 : p (q r) p 2 : p q p 3 : r q p 4 : q r Wiadomo, że formuła [(a b) (b c)] (a c) jest tautologią, skąd [(a b) (b c)] a c jest regułą dowodzenia. Na jej mocy, z p 2 i p 4 wnioskujemy p 5 : p r. Na mocy tej samej reguły, p 5 i p 3 wnioskujemy p 6 : p q. Otrzymujemy p q i p q. Zauważmy, że schemat p q p q p jest regułą dowodzenia (jeżeli p jest prawdziwe, to któraś z implikacji p q, p q ma postać, w której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, a więc jest fałszywa; jeśli p uznajemy za fałszywe, poprzedniki obu implikacje są fałszywe, tak więc same implikacje są prawdziwe). Stwierdzamy p 7 : p. Stosując ponownie pierwszą z podanych reguł wnioskowania do p 4 i p 3, otrzymujemy skąd, na mocy reguły wnioskowania wartością logiczną q jest 1: p 8 : q q, q q q p 9 : q. Zauważmy teraz, że przy otrzymanym wartościowaniu zmiennych p i q każda z formuł p1, p 2, p 3, p 4 jest prawdziwa, niezależnie od wartościowania r. Oznacza to, że wartość logiczna tych formuł nie zależy od r i wartościowanie r nie może zostać z nich wywnioskowane.

16 16 Rachunek zdań 1.8 Funkcje boolowskie i systemy spójników Niech B = {0, 1} będzie zbiorem wartości logicznych. Definicja 1.5. Funkcję f: B n B (n 0) nazywamy n-argumentową funkcją boolowską. P r z y k ł a d Zapis f: B n B oznacza, że zarówno n argumentów funkcji f, jak i jej wartość zwracana pochodzą ze zbioru B. Funkcje takie można opisywać za pomocą formuł zdaniowych, np. f(p, q) (p q) oznacza 2-argumentową funkcję B 2 B, której wartością jest 0 dla p = 1, q = 0 i równą 1 dla każdej innej wartości argumentów p i q. Definicja 1.6. Zbiór spójników logicznych jest zupełny, jeżeli dowolną funkcję boolowską można opisać za pomocą formuły zdaniowej zawierającej jedynie spójniki z tego zbioru i zmienne (oraz nawiasy). Zbiór spójników jest 2-zupełny, jeśli każdą co najwyżej 2- elementową funkcję boolowską można opisać za pomocą formuły zdaniowej zawierającej jedynie spójniki z tego zbioru i zmienne (oraz nawiasy). P r z y k ł a d Wykażemy, że zbiór {, } nie jest zupełny, bowiem wykorzystując jedynie spójniki z tego zbioru nie da się opisać negacji. Niech w p=a (ϕ) oznacza wartość logiczną formuły ϕ przy wartościowaniu p równym a. Niech p będzie dowolną zmienną, a φ(ϕ) oznacza, że nie zachodzi jednocześnie w p=0 (ϕ) = 1 i w p=1 (ϕ) = 0. Pokażemy, że φ(ϕ) zachodzi dla każdej formuły rachunku zdań, zbudowanej jedynie ze zmiennych i spójników {, }. D o w ó d (indukcyjny): Rozważmy dowolną formułę ϕ nie zawierającą spójnika. Może ona być zbudowana jedynie z pojedynczej zmiennej. Jeśli zmienną tą jest p, to w p=0 (ϕ) = 0 1 i φ(ϕ) zachodzi. W przeciwnym przypadku wartość w(ϕ) nie zależy od p i w p=0 (ϕ) = w p=1 (ϕ) i φ(ϕ) również zachodzi. Weźmy teraz dowolne formuły ϕ i ψ, dla których zachodzi φ(ϕ) i φ(ψ). Możliwe są 3 przypadki: 1. w p=0 (ϕ) = 0 i w p=1 (ϕ) = 0 2. w p=0 (ϕ) = 0 i w p=1 (ϕ) = 1 3. w p=0 (ϕ) = 1 i w p=1 (ϕ) = 1 (przypadek w p=0 (ϕ) = 1 i w p=1 (ϕ) = 0 wykluczamy z założenia prawdziwości φ(ϕ) formuła ϕ nie może opisywać negacji zmiennej p). Ad 1. Jeśli w p=0 (ϕ) = 0, to w p=0 (ϕ ψ) = 0 1, a w konsekwencji φ(ϕ ψ). Natomiast w p=0 (ϕ ψ) = w p=0 (ψ) i w p=1 (ϕ ψ) = w p=1 (ψ), co oznacza, że w(ϕ ψ) = w(ψ). Wobec założonej prawdziwości φ(ψ) stwierdzamy φ(ϕ ψ). Ad 2. Jeśli w p=0 (ϕ) = 0 i w p=1 (ϕ) = 1, to w p=0 (ϕ ψ) = 0 1, a w konsekwencji φ(ϕ ψ). Natomiast w p=1 (ϕ ψ) = 1 0. Zachodzi zatem φ(ϕ ψ). Ad 3. Jeśli w p=0 (ϕ) = 1 i w p=1 (ϕ) = 1, to w p=0 (ϕ ψ) = w p=0 (ψ) i w p=1 (ϕ ψ) = w p=1 (ψ), co oznacza, że w(ϕ ψ) = w(ψ). Wobec założonej prawdziwości φ(ψ) stwierdzamy φ(ϕ ψ). Natomiast w p=1 (ϕ ψ) = 1 0. Zachodzi zatem także φ(ϕ ψ). Pokazaliśmy, że, dla dowolnych formuł ϕ i ψ, jeśli tylko φ(ϕ) i φ(ψ) jest prawdziwe, to prawdziwe jest także φ(ϕ ψ) i φ(ϕ ψ), co kończy dowód.

17 1.8 Funkcje boolowskie i systemy spójników 17 Twierdzenie 1.7. Każdy zbiór spójników 2-zupełny jest zupełny. Dowód: Pokażemy, że możemy zapisać dowolną n-argumentową funkcję boolowską, używając 2-zupełnego zbioru spójników. Dla n 2 teza jest prawdziwa w trywialny sposób. Niech więc n > 2. Musimy pokazać, jak obliczyć f(x 1, x 2,..., x n ), gdzie f jest dowolną n argumentową funkcją boolowską, a x 1, x 2,..., x n są zmiennymi logicznymi. Możliwe są 2 przypadki: albo x n jest równe 0, albo 1. Jeżeli x n jest równe 0, to trzeba obliczyć f(x 1, x 2,..., x n 1, 0). Zauważmy, że wówczas f zależy istotnie od n 1 argumentów, czyli jest tożsama z pewną n-1 argumentową funkcją f 0, którą z założenia indukcyjnego potrafimy zapisać używając 2-zupełnego zbioru spójników. Podobnie, dla x n = 1, f(x 1, x 2,..., x n 1, 1) jest tożsama z pewną n-1 argumentową funkcją f 1, którą z założenia indukcyjnego potrafimy zapisać używając 2-zupełnego zbioru spójników. Dysponując 2-zupełnym zbiorem składników możemy w szczególności używać funktorów iloczynu i sumy logicznej oraz negacji. Ostatecznie: f(x 1, x 2,..., x n ) = (f(x 1, x 2,..., x n 1, 0) x n ) (f(x 1, x 2,..., x n 1, 1) x n ) = (f 0 (x 1, x 2,..., x n 1 ) x n ) (f 1 (x 1, x 2,..., x n 1 ) x n ) (2) Równość (2) została zapisana przy użyciu 2-zupełnego zbioru spójników, co dowodzi tezy.

18 18 Rachunek zdań

19 Rozdział 2 Rachunek predykatów Prawda istnieje. Wymyśla się kłamstwo. Georges Braque 2.1 Funkcje zdaniowe jednej zmiennej Definicja 2.1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcją zdaniową jednej zmiennej x, której zakresem zmienności jest przestrzeń X, nazywamy wyrażenie ϕ(x), w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy w miejsce tej zmiennej wstawimy dowolny element ze zbioru X. Mówimy, ze element x X spełnia funkcję zdaniową ϕ(x), jeżeli zdanie ϕ(x) jest prawdziwe. P r z y k ł a d 2.1. Wyrażenie x 2 > 0, x R (1) jest przykładem funkcji zdaniowej zmiennej x o zakresie zmienności R. Liczba 1 R spełnia funkcję zdaniową (1) (gdyż zdanie 1 2 > 0 jest prawdziwe), natomiast 0 R nie spełnia tej funkcji (gdyż zdanie 0 2 > 1 jest fałszywe). Zbiór wszystkich wartości x X, dla których funkcja zdaniowa ϕ(x), x X, jest zdaniem prawdziwym oznaczamy Zatem {x X: ϕ(x)} (2) a {x X: ϕ(x)} wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(a) (3) P r z y k ł a d 2.2. {x R: x 2 > 0} = R \ {0} ponieważ funkcję zdaniową (1) spełnia każda liczba rzeczywista różna od 0. Dla każdej funkcji zdaniowej ϕ(x), x X, zbiór tych wartości x, dla których ϕ(x) jest prawdziwe wyznacza pewien podzbiór zbioru X. Możemy powiedzieć, że elementy tego zbioru mają własność ϕ i żadne inne elementy przestrzeni X tej własności nie mają.

20 20 Rachunek predykatów 2.2 Kwantyfikatory Rozpatrzmy pewną funkcję zdaniową ϕ(x) o zakresie zmienności X. Załóżmy, że udało nam się udowodnić, że ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla każdego x X. Zapisując to twierdzenie moglibyśmy napisać ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 )... (4) gdzie x 1, x 2,... X. Powyższy zapis nie jest formułą rachunku zdań, ponieważ występuje w nim niedozwolony symbol wielokropka. Jeśli zbiór X jest skończony, możemy napisać ϕ(x) dla każdego elementu zbioru X (np. dla zbioru X = {x 1, x 2, x 3 } formuła taka ma postać ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) ϕ(x 3 )). Sytuacja komplikuje się w przypadku, gdy zbiór X jest nieskończony. Zauważmy, że napis skończonej długości postaci (4) może opisywać własność ϕ dla skończonej liczby elementów zbioru X. Bezpośrednio z definicji rachunku zdań wynika, że formuły r. z. mają skończoną długość. Zatem mogą one opisać własność ϕ jedynie dla skończonej liczby elementów rozważanego zbioru, a nie całego, nieskończonego, zbioru X. Podobnie gdybyśmy wiedzieli, że ϕ(x) jest prawdziwe dla pewnego x X, moglibyśmy napisać ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 )... (5) gdzie x 1, x 2,... X. Powyższy zapis nie jest formułą rachunku zdań, ponieważ występuje w nim niedozwolony symbol wielokropka. Jeśli zbiór X jest skończony, możemy napisać ϕ(x) dla każdego elementu zbioru X (np. dla zbioru X = {x 1, x 2, x 3 } formuła taka ma postać ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) ϕ(x 3 )). W przypadku, gdy zbiór X jest nieskończony, z tych samych powodów, co wyżej, każda formuła, którą napiszemy może opisać sytuację, w której własność ϕ zachodzi dla co najmniej jednego elementu skończonego podzbioru zbioru X, a nie całego, nieskończonego, zbioru X. Potrzebujemy czegoś więcej niż rachunek zdań. Rozszerzymy zatem rachunek zdań o dwa nowe funktory zdaniotwórcze: kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny), kwantyfikator ogólny, otrzymując w ten sposób system zwany rachunkiem predykatów. Znaczenie wprowadzonych funktorów jest następujące: jeśli funkcja zdaniowa ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla każdego x, piszemy x. ϕ(x) i czytamy: dla każdego x zachodzi ϕ(x) ; natomiast jeśli istnieje co najmniej jeden element x, dla którego ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym, piszemy i czytamy: istnieje x, takie że ϕ(x). x. ϕ(x) 2.3 Składnia rachunku kwantyfikatorów Definicja 2.2. Niech {x, y, z, x 1, x 2,...} będzie nieskończonym zbiorem tzw. zmiennych indywiduowych, {p, q, p 1, p 2,...} zbiorem symboli relacji, zaś Σ = {,,,,,, } zbiorem spójników.

21 2.4 Zmienne związane i wolne 21 Formułą atomową będziemy nazywać każdy napis postaci f(x 1, x 2,..., x n ), gdzie f jest n argumentowym symbolem relacji (n 0), a x 1, x 2,..., x n są zmiennymi. Zbiorem Q formuł rachunku kwantyfikatorów będziemy nazywać najmniejszy zbiór napisów złożony z formuł atomowych, spójników z Σ i nawiasów, spełniający następujące warunki: 1. jeżeli ϕ jest formułą atomową, to ϕ Q 2. (a) jeżeli ϕ Q, to ϕ Q, (b) jeżeli ϕ, ψ Q, to każda formuła postaci ϕ ψ, gdzie {,,, }, należy do Q. (c) jeżeli ϕ Q, to x. ϕ Q i x. ϕ Q. Sens tej definicji jest następujący: formułami rachunku kwantyfikatorów będziemy nazywać zbiór złożony z formuł atomowych, połączonych ze sobą w określony sposób spójnikami logicznymi oraz symbolami kwantyfikatorów. P r z y k ł a d 2.3. Niech p będzie symbolem relacji 2-argumentowej, a q 3-argumentowej. Formuły p(x, y) i q(x, x 1, x 2 ) są atomowe, a więc są i formułami rachunku kwantyfikatorów. Także p(x, y), p(x, y) q(x, x 1, x 2 ) są formułami r. k. Wreszcie x. p(x, y), x x 1 x 2. p(x, y) q(x, x 1, x 2 ) są formułami r. k. 2.4 Zmienne związane i wolne Zgodnie z definicją funkcji zdaniowej zmienna x występująca w wyrażeniu ϕ(x) może zostać zastąpiona dowolnym elementem x 1 ze zbioru zmienności tej zmiennej, w wyniku czego otrzymujemy zdanie ϕ(x 1 ), prawdziwe lub nie, w zależności od znaczenia funkcji zdaniowej ϕ oraz wartości x 1. W wyrażeniu tym x jest zmienną swobodną (inaczej wolną albo niezwiązaną). Definicja 2.3. Wyrażenie, w którym występuje przynajmniej jedna zmienna wolna nazywamy predykatem. W wyrażeniu x. ϕ(x) zmienna x występuje w podobnym kontekście, ale tym razem nie można jej zastąpić żadnym elementem ze zbioru zmienności tej zmiennej. Jest ona bowiem związana z kwantyfikatorem, inaczej mówiąc znajduje się w jego zasięgu. Przyjmuje się, że kwantyfikator obejmuje swoim zasięgiem najbliższą funkcję zdaniową stojącą za nim. W razie potrzeby otaczamy ją nawiasami. P r z y k ł a d 2.4. W formule x. x > y x < 0 zmienna y jest wolna. Zmienna x występująca przed znakiem alternatywy jest związana kwantyfikatorem ogólnym, podczas gdy druga zmienna x, występująca po znaku alternatywy, jest zmienną wolną (gdyż nie jest objęta zasięgiem żadnego kwantyfikatora) i nie ma nic wspólnego ze zmienną x sprzed tego znaku. W formule z dodanymi nawiasami x. (x > y x < 0), w której kwantyfikator ogólny obejmuje swoim zasięgiem oba wystąpienia zmiennej x, jedyną zmienna wolną jest y. Zmienne związane i swobodne występują nie tylko w logice. W wyrażeniu arytmetycznym 1 x zmienna x jest swobodna (i może być zastąpiona dowolną liczbą różną od 0), natomiast w wyrażeniu 1 x dx nie (gdyż jest zmienną całkowania).

22 22 Rachunek predykatów Formalnie zbiór zmiennych wolnych formuły definiujemy następująco: FV (p(x 1, x 2,..., x n )) = {x 1, x 2,..., x n }, dla każdej n-argumentowej formuły p FV ( ϕ) = FV (ϕ) FV (ϕ ψ) = FV (ϕ) FV (ψ), gdzie {,,, } FV ( x. ϕ) = FV (ϕ) \ {x} FV ( x. ϕ) = FV (ϕ) \ {x} P r z y k ł a d 2.5. Spróbujmy zdefiniować zbiór BV zmiennych związanych formuły. Podobnie jak wcześniej F V, zdefiniujemy go przez indukcję. Formuły atomowe nie zawierają zmiennych związanych, tak więc dla każdej n-argumentowej formuły atomowej p mamy Jest oczywiste, że BV ( ϕ) = BV (ϕ) BV (p(x 1, x 2,..., x n )) = BV (ϕ ψ) = BV (ϕ) BV (ψ), gdzie {,,, } Na koniec BV ( x. ϕ) = BV (ϕ) {x} BV ( x. ϕ) = BV (ϕ) {x} P r z y k ł a d 2.6. FV ( x. p(x, y) q(z)) = FV ( x. p(x, y)) FV (q(z)) = = (FV (p(x, y)) \ {x}) {z} = = ({x, y} \ {x}) {z} = = {y} {z} = {y, z} BV ( x. p(x, y) q(z)) = BV ( x. p(x, y)) BV (q(z)) = = (BV (p(x, y)) {x}) = = {x} = {x} 2.5 Kwantyfikatory o ograniczonym zasięgu Często zdarza się, że orzekamy jakąś własność nie dla całego zakresu zakresu zmienności zmiennej znajdującej się w zasięgu kwantyfikatora, lecz dla pewnego podzbioru tego zakresu, ograniczonego pewnym warunkiem. Wówczas warunek ten zapisujemy pod znakiem kwantyfikatora, np.: (x < 0). x 3 < 0 Trzeba jednak pamiętać, że w świetle przedstawionej wyżej formalnej definicji napis taki nie jest formułą rachunku kwantyfikatorów! Jest on w istocie skrótem notacyjnym, właściwie należałoby napisać x. (x < 0 x 3 < 0)

23 2.6 Rachunek funkcji zdaniowych 23 Podobnie, zapis traktujemy jak (x < 0). x 3 < 0 x. (x < 0 x 3 < 0) P r z y k ł a d 2.7. Rozważmy następującą definicję: podzbiór A zbioru liczb naturalnych N nazwiemy nieskończonym, jeżeli dla każdego elementu x tego zbioru istnieje w tym zbiorze elementy większy, tj.: x A. ( y A. y > x). (6) Czy to dobra definicja? Na pozór tak, jeśli bowiem weżmiemy dowolne x 1 A, to musi istnieć x 2 A większe od x 1, x 3 większe od x 2 itd., skąd wnosimy, że zbiór A jest nieskończony. Zauważmy jednak, że formuła (6) jest równoważna następującej formule rachunku funkcji zdaniowych: x.[(x A) ( y A. y > x)]. Jeżeli zbiór A jest pusty, to poprzednik implikacji jest zawsze fałszywy, a sama implikacja jest zdaniem prawdziwym. Nasza definicja zmusza nas do twierdzenia, że zbiór pusty jest nieskończony, a więc jest błędna (nie możemy w żadnym przypadku uznać, że zbiór pusty jest nieskończony, gdyż po dołożeniu do niego 1 elementu ze zbioru nieskończonego otrzymalibyśmy skończony, przez co z kolei musielibyśmy uznać, że zbiór skończony może mieć więcej elementów niż nieskończony, co jest absurdem). 2.6 Rachunek funkcji zdaniowych W rachunku predykatów, podobnie jak w rachunku zdań, określa się działania, tautologie i reguły wnioskowania. Poniższe dwie tautologie, zwane prawami de Morgana, są bardzo użyteczne: ( x. ϕ(x)) x. ϕ(x) (7) ( x. ϕ(x)) x. ϕ(x) (8) Na ich podstawie stwierdzamy, że kwantyfikatory i są dualne, co oznacza, że dowolną formułę rachunku kwantyfikatorów możemy zapisać używając co najwyżej jednego z nich. Równoważność (7) stwierdza, że nie jest prawdą, że wszystkie elementy rozważanej przestrzeni mają własność ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (co najmniej jeden) element, który jej nie ma. Aby więc wykazać, że nie wszystkie elementy danego zbioru mają pewną własność ϕ, wystarczy wskazać tzw. kontrprzykład, tj. taki element x, który nie ma własności ϕ (czyli taki, dla którego formuła ϕ(x) jest zdaniem fałszywym). Równoważność (8) mówi, że wszystkie elementy danego zbioru nie mają własnośći ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma jej żaden z nich. Podajemy jeszcze kilka innych pożytecznych tautologii rachunku funkcji zdaniowych (przy milczącym założeniu, że zakres zmienności zmiennej x jest dla funkcji ϕ i ψ ten sam) : x. (ϕ(x) ψ(x)) x. ϕ(x) x. ψ(x) (9) x. (ϕ(x) ψ(x)) x. ϕ(x) x. ψ(x) (10) x. (ϕ(x) ψ(x)) x. ϕ(x) x. ψ(x) (11) x. ϕ(x) x. ψ(x)) x. (ϕ(x) ψ(x)) (12)

24 24 Rachunek predykatów oraz następujące prawa przestawiania kwantyfikatorów: x. y. ϕ(x, y) y. x. ϕ(x, y) (13) x. y. ϕ(x, y) y. x. ϕ(x, y) (14) x. y. ϕ(x, y) y. x. ϕ(x, y) (15) P r z y k ł a d 2.8. Rozważmy formułę (10): x. (ϕ(x) ψ(x)) x. ϕ(x) x. ψ(x). Pokażemy, że jest ona tautologią. Formuła ta staje się fałszywa, gdy poprzednik x. (ϕ(x) ψ(x)) jest prawdziwy, a następnik x. ϕ(x) x. ψ(x) fałszywy. Jeżeli jednak poprzednik jest prawdziwy, to istnieje pewne x 1, takie że Na mocy reguły wnioskowania ϕ(x 1 ) ψ(x 1 ). p q p stwierdzamy, że prawdziwe jest ϕ(x 1 ) (biorąc za p wyrażenie ϕ(x 1 ), a za q wyrażenie ψ(x 1 )); podobnie stwierdzamy, że prawdziwe jest ψ(x 1 ). Istnieje zatem pewno x, mianowicie x 1, takie że ϕ(x) jest prawdziwe: x. ϕ(x) (16) Podobnie istnieje pewno x, mianowcie x 1, takie że ψ(x) jest prawdziwe: x. ψ(x) (17) Założyliśmy, że następnik implikacji (10) jest fałszywy, czyli że poniższa formuła jest prawdziwa: ( x. ϕ(x) x. ψ(x)). Korzystając z praw de Morgana dla koniunkcji, otrzymujemy alternatywę [ ( x. ϕ(x))] [ ( x. ϕ(x))], której oba składniki na mocy (16) i (17) są fałszywe, a więc i ona sama jest fałszywa (wbrew założeniu). Stąd formuła (10) jest tautologią. Zauważmy, że nie możemy w formule (10) zastąpić implikacji równoważnością. Formuła x. ϕ(x) x. ψ(x) x. (ϕ(x) ψ(x)) (18) nie jest bowiem tautologią (pamiętamy, że (p q) [(p q) (q p)]). Dla dowodu rozważmy formuły ϕ i ψ takie, że dla x N wyrażenie ϕ(x) jest prawdziwe, jeśli x jest parzyste, natomiast ψ(x) jest prawdziwe dla x nieparzystego. Zdanie x. ϕ(x) jest prawdziwe (gdyż istnieje takie x, równe np. 2, że ϕ(x) = ϕ(2) jest prawdziwe), podobnie prawdziwe jest zdanie x. ψ(x) (ψ(x) jest prawdziwe np. dla x = 3 ). Poprzednik implikacji (18) jest zatem prawdziwy. Natomiast jej następnik prawdziwy oczywiście nie jest (nie istnieje bowiem liczba jednocześnie i parzysta, i nieparzysta). A zatem rozważana implikacja jest fałszywa.

25 Rozdział 3 Zasada indukcji zupełnej Co trzeba robić, aby zasłużyć na order? Nic, ale za to bardzo długo. H. Steinhaus 3.1 Teoriomnogościowe ujęcie liczb naturalnych Zbiór liczb naturalnych N można wprowadzić do matematyki na wiele sposobów. W ujęciu teoriomnogościowym wprowadza się pojęcie następnika S(A) zbioru A (jego istnienie wymaga przyjęcia dodatkowego aksjomatu) kładąc S(A) = A {A}. Następnie, startując od zbioru pustego i biorąc kolejne następniki, otrzymujemy zbiory S( ), S(S( )), S(S(S( ))),..., czyli, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},... W ten sposób można zdefiniować zbiór liczb naturalnych odwołując się jedynie do pojęć teorii mnogości (przyjmując, że zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszą rodziną zbiorów zawierającą zbiór pusty i taką, że wraz z każdym zbiorem zawiera ona jego następnik). Zbiór pusty odpowiada więc liczbie 0, { } liczbie 1, {, { }} liczbie 2 itd. 3.2 Aksjomatyczne ujęcie liczb naturalnych W dalszym ciągu będziemy się posługiwać następującym aksjomatycznym ujęciem liczb naturalnych. Za pojęcia pierwotne uważać będziemy N, 0 oraz pojęcie następnika. Przyjmiemy następujący układ 5 aksjomatów: 1. 0 N 2. 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej 3. dla każdej liczby naturalnej istnieje dokładnie jedna liczba naturalna, która jest jej następnikiem 4. jeżeli liczba m jest następnikiem liczb n i k, to n = k. 5. (Zasada indukcji) jeżeli A N i (a) 0 A (b) dla każdej liczb naturalnej prawdziwa jest implikacja n A n A, to A = N, gdzie n oznacza następnik liczby naturalnej n.

26 26 Zasada indukcji zupełnej 3.3 Zasada indukcji zupełnej Wśród wymienionych aksjomatów szczególną wagę ma aksjomat piąty, za pomocą którego dowodzi się większości twierdzeń o zbiorze N. Dowód taki składa się z dwóch kroków: podstawy indukcji, czyli stwierdzenia 0 A i kroku indukcyjnego, w którym pokazuje się, że dla dowolnie wybranego n z prawdziwości n A wynika prawdziwość n A. Z pomocą podanych wyżej aksjomatów wprowadza się dalsze pojęcia występujące w arytmetyce liczb naturalnych, w szczególności dodawanie, przyjmując n + 0 = n, n + m = (n + m), dla dowolnych n, m N. Korzystając z zasady indukcji można w łatwy sposób wykazać, że tak określona suma n+m jest zdefiniowana dla każdych dwóch liczb naturalnych n, m. Przyjmijmy oznaczenie 1 = 0. Zauważmy, że n + 1 = n + 0 równe jest z definicji (n + 0), czyli n. Zamiast n będziemy zatem pisać n + 1. Zasadę indukcji stosuje się najczęściej w jednej z 2 następujących postaci: Twierdzenie 3.1. Jeżeli ϕ jest własnością określoną w zbiorze N, taką że 1. ϕ(0) (0 ma własność ϕ), 2. dla każdego n naturalnego prawdziwa jest implikacja ϕ(n) ϕ(n + 1) (jeżeli n ma własność ϕ, to ma ją także n + 1), to każda liczba naturalna ma własność ϕ. P r z y k ł a d 3.1. Pokazać, że obszary wyznaczone przed dowolną skończoną liczbę prostych na płaszczyźnie można pokolorować dwoma kolorami tak, by żadne dwa obszary o tym samym kolorze nie miały wspólnego boku. Dowód przeprowadzimy przez indukcję po liczbie prostych. 1. Podstawa indukcji. Przypadek n = 0 jest trywialny całą przestrzeń malujemy jednym kolorem. 2. Krok indukcyjny. Załóżmy, że obszary wyznaczone przez n prostych daje się odpowiednio pokolorować. Wykonujemy to kolorowanie i rysujemy na płaszczyźnie n + 1-szą prostą. Jeżeli pokrywa się ona z którąś z dotychczasowych, odpowiednie kolorowanie mamy dane. W przeciwnym przypadku wyróżniamy obszar znajdujący się po jednej stronie prostej i zmieniamy w nim kolorowanie na przeciwne (kolor pierwszy zastępujemy drugim i odwrotnie).

27 3.3 Zasada indukcji zupełnej 27 I II I > II II I II > I I > II Jest jasne, że w po obu stronach dodanej prostej nie ma obszarów o tym samym kolorze stykających się bokami. Jeżeli więc na płaszczyźnie istnieją 2 obszary o wspólnym boku i tym samym kolorze, to musza ona leżeć po przeciwnych stronach dodanej prostej, a wspólny bok musi leżeć na tej prostej. Obszary takie jednak mają przeciwne kolory (gdyż zmieniliśmy je po jednej stronie prostej). P r z y k ł a d 3.2. Pokazać, że n prostych przecina się na płaszczyźnie w co najwyżej n(n 1) 2 punktach. 1. Podstawa indukcji. Dwie proste przecinają się w co najwyżej 1 punkcie (1 = 2(2 1) 2 ). 2. Krok indukcyjny. Załóżmy teraz, że n 1 prostych przecina się w co najwyżej (n 1)(n 2) 2 punktach. Rysujemy n-ta prostą. Nowe przecięcia mogły powstać tylko w tych punktach, w których nowa prosta przecięła się z pozostałymi. Tak więc n prostych przecina się w co najwyżej (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) + 2(n 1) (n 1)(n 2 + 2) (n 1)n +n 1 = = = punktach. Jak widzimy z ostatniego przykładu za podstawę indukcji możemy wziąć liczbę a większą od 0. Wówczas dowodzone twierdzenie jest prawdziwe z zbiorze N \{0, 1,..., a 1} = {a, a + 1, a + 2,...}. Twierdzenie 3.2. Jeżeli ϕ jest własnością określoną w zbiorze N, taką że 1. ϕ(0) (0 na własność ϕ), 2. dla każdej liczby naturalnej n z prawdziwości ϕ(k) dla wszystkich k n wynika ϕ(n + 1), to każda liczba naturalna ma własność ϕ. P r z y k ł a d 3.3. Dany jest ciąg (a n ) taki, że a 0 = 2, a 1 = 3, a n+1 = 3a n 2a n 1 oraz b n = 2 n + 1. Pokazać, że dla każdego n naturalnego zachodzi a n = b n.

28 28 Zasada indukcji zupełnej 1. Podstawa indukcji. Łatwo sprawdzić, że a 0 = b 0 i a 1 = b Krok indukcyjny. Załóżmy, że odpowiednie wyrazy ciągów (a n ) i (b n ) o indeksach niewiększych od n są równe, tzn. a i = b i dla i n. Pokażemy, że wynika z tego, że a n+1 = b n+1. Istotnie, a n+1 def. = 3a n 2a n 1 ind. = 3b n 2b n 1 def. = 3(2 n + 1) 2(2 n 1 + 1) = = 3 2 n n 2 = 2 2 n + 1 = 2 n = = b n+1. Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy równość ciągów (a n ) i (b n ). Zauważmy, że dla dowodu nie wystarcza twierdzenie 3.2. W kroku indukcyjnym odwołujemy się bowiem do wszystkich wyrazów ciągów o indeksach mniejszych od n + 1, a nie tylko do wyrazu o indeksie n. P r z y k ł a d 3.4. Wykazać, że formuła (... ((p 1 p 2 ) p 3 )... p n 1 ) p n jest fałszywa dla dokładnie 2 n ( 1) n 3 wartościowań zmiennych p 1, p 2,... p n. Dla n = 1 rozważana formuła ma postać p 1 i jest fałszywa dla 1 = 21 ( 1) 1 3 wartościowań zmiennych (mianowicie dla takiego wartościowania, które przypisuje zmiennej p 1 wartość 0). Załóżmy zatem, że formuła (... ((p 1 p 2 ) p 3 )... p n 2 ) p n 1 jest fałszywa dla dokładnie 2 n 1 ( 1) n 1 3 wartościowań zmiennych p 1, p 2,... p n 1. Zauważmy, że implikacja [(... ((p 1 p 2 ) p 3 )... p n 1 )] p n jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Poprzednik jest prawdziwy dla tych wartościowań zmiennych p 1, p 2,... p n 1, dla których nie jest fałszywy, następnik zaś jest fałszywy, gdy p n jest wartościowane na 0, a więc dla jednego wartościowania. Rozważana formuła jest więc fałszywa dla 1 ( 2 n 1 2n 1 ( 1) n 1 3 ) = 3 2n 1 2 n 1 ( 1)( 1) n 1 3 wartościowań zmiennych p 1, p 2,... p n, co należało pokazać. Z zasadą indukcji równoważna jest następująca = 2n ( 1) n 3 Twierdzenie 3.3 (Zasada minimum). W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje element najmniejszy.

29 Rozdział 4 Teoria zbiorów Oj, czemu to zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje. Oj byłby to hałas spory, gdyby zebrać wszystkie zbiory. Jan Alboszta 4.1 O potrzebie aksjomatyzacji teorii mnogości Teoria mnogości zajmuje się ogólnymi własnościami zbiorów, bez wnikania w istotę elementów, z których się one składają. W początkowym okresie swojego rozwoju teoria mnogości posługiwała się bliżej nie sprecyzowanym, intuicyjnym pojęciem zbioru. Wkrótce jednak okazało się, że brak należytych podstaw teorii mnogości prowadzi do powstania tzw. antynomii, tj. sprzeczności, których na gruncie przyjętej ówcześnie teorii nie potrafiono wytłumczyć. W szczególności uważano, że dla każdej własności ϕ istnieje zbiór, składający się z tych i tylko tych obiektów, które tę własność mają. Rozważmy zbiór, którego elementami są wszystkie zbiory nie będące swoimi elementami: Z = {A: A / A}. Z określenia zbioru Z wynika, że Z Z Z / Z. Określenie zbioru Z prowadzi do sprzeczności. Jej usunięcie możliwe było dopiero na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości. 4.2 Aksjomaty teorii mnogości Za pojęcia pierwotne przyjmujemy pojęcie zbioru oraz przynależności elementu do zbioru. Aksjomat równości zbiorów. Jeżeli zbiory A i B mają te same elementy, to zbiory A i B są równe. A = B x. x A x B Aksjomat sumy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B, i który nie zawiera innych elementów. x. x A B x A x B